Théorème de Tverberg

Théorème — Soient ${\displaystyle n\geq 1}$ et ${\displaystyle r\geq 2}$ deux entiers et ${\displaystyle N=(r-1)\cdot (n+1)}$. Pour tout ensemble ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ de l'espace euclidien contenant au moins ${\displaystyle N+1}$ points, il existe une décomposition

${\displaystyle A=A_{1}{\dot {\cup }}A_{2}{\dot {\cup }}\,\dots {\dot {\cup }}A_{r}}$

en ${\displaystyle r}$ sous-ensembles disjoints deux-à-deux telle que l'intersection de leurs enveloppes convexes

${\displaystyle \operatorname {conv} \left(A_{1}\right)\cap \operatorname {conv} \left(A_{2}\right)\cap \,\dots \cap \operatorname {conv} \left(A_{r}\right)}$

est non vide.

Un énoncé équivalent — Soient ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle r}$ des entiers positifs et ${\displaystyle N=(r-1)(n+1)}$. Soit ${\displaystyle f}$ une fonction affine d'un simplexe ${\displaystyle \Delta ^{N}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ; il existe des faces ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{r}}$ disjointes deux-à-deux de ${\displaystyle \Delta ^{N}}$ dont les images par ${\displaystyle f}$ s'intersectent, en d'autres termes telles que ${\displaystyle F_{i}\cap F_{j}=\emptyset }$ pour tout ${\displaystyle 1\leq i\neq j\leq r}$ et ${\displaystyle f(F_{1})\cap \cdots \cap f(F_{r})\neq \emptyset }$.

Théorème topologique — Soit ${\displaystyle n}$ un entier positif, soit ${\displaystyle r}$ une puissance d'un nombre premier et soit ${\displaystyle N=(n+1)(r-1)}$. Si ${\displaystyle f:\Delta ^{N}\to \mathbb {R} ^{n}}$ est une fonction continue du simplexe ${\displaystyle \Delta ^{N}}$ de dimension ${\displaystyle N}$, alors il existe ${\displaystyle r}$ faces deux à deux disjointes de ${\displaystyle \Delta ^{N}}$ dont les images sous ${\displaystyle f}$ se coupent. En d'autres termes, il existe des faces ${\displaystyle F_{1},...,F_{r}}$ de ${\displaystyle \Delta ^{N}}$ telles que ${\displaystyle F_{i}\cap F_{j}=\emptyset }$ pour ${\displaystyle 1\leq i\neq j\leq r}$ et ${\displaystyle f(F_{1})\cap \cdots \cap f(F_{r})\neq \emptyset }$.