Théorème de Szemerédi

Soient k un entier positif et 0 < δ ≤ 1/2. Alors il existe un entier N = N(k,δ) tel que tout sous-ensemble de {1 ; … ; N} d'au moins δN éléments contienne une progression arithmétique de longueur k.

À l'heure actuelle, on ne sait qu'encadrer la valeur de N, dans le cas général le meilleur encadrement connu est celui-ci :

$${\displaystyle C^{\log(1/\delta )^{k-1}}\leq N(k,\delta )\leq 2^{2^{\delta ^{-2^{2^{k+9}}}}}.}$$

La borne inférieure est due à Behrend et Rankin[3], la borne supérieure a été étudiée par Gowers.

Dans le cas où ${\displaystyle k=3}$, on a la majoration suivante, due à Bourgain[4] :

${\displaystyle N(3,\delta )\leq C^{\delta ^{-2}\log(1/\delta )}}$.

Le cas k=3 a été démontré en 1953 par Klaus Roth[5], en adaptant la méthode du cercle de Hardy-Littlewood. Cependant sa méthode ne se généralisait pas à tous les cas, et il a fallu attendre 1969 pour que Szeremédi démontre le cas k=4. En 1972, Roth étend à son tour sa méthode au cas k=4, et le cas général est finalement démontré par Szeremédi en 1975. Depuis, ce théorème a connu de nombreuses démonstrations faisant appel à divers domaines des mathématiques[6].

Ce théorème est un cas particulier de la conjecture d'Erdős sur les progressions arithmétiques, dont un autre cas résolu est le théorème de Green-Tao.

Un lemme de la démonstration, appelé lemme de régularité de Szemerédi, est un résultat de théorie des graphes qui s'est révélé très important dans ce domaine.

• David Conlon, Jacob Fox et Yufei Zhao, « A relative Szemeredi Theorem », Geometric and Functional Analysis, vol. 25,‎ 2015, p. 733–762 (arXiv 1305.5440).

• Norme de Gowers (en)
• Théorèmes de van der Waerden et de Hales-Jewett
• Théorème des coins (en)
• Théorème de Behrend