Accueil🇫🇷Chercher

Théorème de Squire

En mécanique des fluides le théorème de Squire montre que dans un écoulement incompressible plan les perturbations transversales peuvent être ignorées dans l'étude de la stabilité linéaire de cet écoulement. Ceci a été démontré par Herbert Squire en 1933[1] et avait fait l'objet de travaux par Osborne Reynolds en 1894[2].

Stabilité linéaire

L'équation de Orr-Sommerfeld est une équation aux valeurs propres décrivant l'évolution de perturbations infinitésimales dans un écoulement incompressible parallèle visqueux, décrit par les équations de Navier-Stokes. Ce type d'analyse s'étend à l'équation de Rayleigh pour un écoulement non visqueux, décrit par les équations d'Euler[3].

On prend le cas d'un écoulement de Poiseuille en géométrie plane, se déplaçant suivant x entre deux plaques, décrit par la vitesse moyenne et perturbé par une onde harmonique

α et β sont les nombres d'onde, ω la pulsation et c la vitesse de propagation. W (y) est une fonction régulière arbitraire.

Squire a montré[1] que l'équation de stabilité de ce problème était identique à celle d'un problème sans perturbation en z à condition de prendre une perturbation équivalente αeq telle que

et un nombre de Reynolds tel que

On a donc

D'où le théorème de Squire : à toute perturbation tridimensionnelle on peut associer un mode bidimensionnel qui est plus instable. L'étude de la perturbation bidimensionnelle est donc suffisante pour établir un critère de stabilité.

Références

  1. (en) H. B. Squire, « On the stability for Three-dimensional disturbances of viscous fluid flow between parallel walls », Proceedings of the Royal Society Série A, vol. 142, no 847, , p. 621-628 (lire en ligne)
  2. (en) Osborne Reynolds, « On the Dynamical Theory of Incompressible Viscous Fluids and the Determination of the Criterion », Philosophical Transactions of the Royal Society, vol. 186, , p. 123-164 (lire en ligne)
  3. (en) Philip G. Drazin, Introduction to Hydrodynamic Stability, Cambridge University Press, (ISBN 0-521-00965-0)
Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.