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Théorème de Lucas

En théorie des nombres, le théorème de Lucas exprime le reste de la division du coefficient binomial par un nombre premier en termes du développement en base des entiers et .

Le théorème de Lucas a été publié en 1878 par Édouard Lucas[1].

Énoncé

Pour des entiers et positifs ou nuls et un nombre premier , on a la relation de congruence suivante :

et

sont les développements respectifs de et en base .

Corollaire

Un coefficient binomial est divisible par un nombre premier si et seulement si au moins un chiffre de en base est strictement plus grand que le chiffre correspondant de , auquel cas . Ce corollaire est aussi un corollaire du théorème de Kummer.

Démonstration utilisant la formule du binôme

Cette démonstration est due à Nathan Fine qui l'a publiée en 1947[2].

Si est un nombre premier, la formule du pion montre que est multiple de pour et que donc

Par récurrence, on en déduit que pour tout entier naturel :

Connaissant et , on peut écrire :

D'où le résultat.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lucas' theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. [lire en ligne] :
    • Edouard Lucas, « Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques », Amer. J. Math., vol. 1, no 2, , p. 184-196 (DOI 10.2307/2369308) lien Math Reviews (part 1) ;
    • Edouard Lucas, « Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques », Amer. J. Math., vol. 1, no 3, , p. 197-240 (DOI 10.2307/2369311) lien Math Reviews (part 2) ;
    • Edouard Lucas, « Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques », Amer. J. Math., vol. 1, no 4, , p. 289-321 (DOI 10.2307/2369373) lien Math Reviews (part 3).
  2. Nathan Fine, « Binomial coefficients modulo a prime », American Mathematical Monthly, vol. 54, no 10, , p. 589–592 (DOI 10.2307/2304500, JSTOR 2304500)
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