Théorème de Lagrange sur les polynômes

Il s'agit d'un résultat trouvé par le mathématicien Joseph-Louis Lagrange concernant les polynômes. Soit P un polynôme tel que:

${\displaystyle P(x)=x^{n}+\sum _{i=0}^{n-1}{a_{i}x^{i}}}$

où les ${\displaystyle a_{i}}$ sont réels.

Si a est une racine de P, alors a vérifie

${\displaystyle |a|\leq 1+\max(|a_{0}|,\ldots ,|a_{n-1}|).}$

Ce théorème reste vrai si les ${\displaystyle a_{i}}$ et ${\displaystyle a}$ sont complexes et l'inégalité est même stricte. Mieux : par le théorème de Rouché, le polynôme P admet n racines (comptées avec leurs multiplicités) dans le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon ${\displaystyle 1+\max(|a_{0}|,\ldots ,|a_{n-1}|)}$, ce qui fournit une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss en plus de la majoration annoncée.

Preuve :

Supposons que ${\displaystyle a}$ est une racine du polynôme de module supérieur à 1 (Dans le cas contraire, la majoration est triviale). Réécrivons ${\displaystyle P(x)=0}$ de la sorte :

${\displaystyle x^{n}=-a_{0}-a_{1}x-...-a_{n-1}x^{n-1}}$

en écrivant ${\displaystyle h=\max _{i=0,..,n-1}|a_{i}|}$ :

${\displaystyle |x^{n}|\leq |a_{0}|+|a_{1}||x|+...+|a_{n-1}||x^{n-1}|}$

Comme ${\displaystyle |x|>1}$ et pour tout entier ${\displaystyle n}$ on a ${\displaystyle |x^{n}|=|x|^{n}}$ , on obtient :

${\displaystyle |x|^{n}\leq h[1+|x|+..+|x|^{n-1}]}$

l'expression entre crochet est une suite géométrique finie, on peut écrire:

${\displaystyle |x|^{n}\leq h{\frac {|x|^{n}-1}{|x|-1}}}$

Comme ${\displaystyle |x|>1}$ :

${\displaystyle |x|-1\leq h{\frac {|x|^{n}-1}{|x^{n}|}}=h\left(1-{\frac {1}{|x|^{n}}}\right)}$

Alors:

${\displaystyle |x|-1\leq h}$

Donc ${\displaystyle |x|\leq 1+h}$ , ce qui achève la démonstration.

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