Théorème de Kneser (combinatoire)
En combinatoire additive, le théorème de Kneser, nommé d'après Martin Kneser, est un énoncé sur les sommes d'ensembles dans les groupes abéliens[1].
Énoncé
Soient A et B deux parties finies non vides d'un groupe abélien G et H le sous-groupe (fini) des périodes de A + B :
alors[2] :
ce qui entraîne : |A + B| ≥ |A| + |B| – |H| ; en particulier si |A + B| ≤ |A| + |B| – 2 alors A + B est périodique, i.e. possède des périodes non nulles.
De plus, si l'inégalité (✲) est stricte, alors |A + B| est même supérieur ou égal à |A + H| + |B + H|[2].
Notes et références
- (de) M. Kneser, « Abschätzungen der asymptotischen Dichte von Summenmengen », Math. Z., vol. 58, , p. 459-484 (lire en ligne)
- (en) Alfred Geroldinger et Imre Z. Ruzsa (en), Combinatorial Number Theory and Additive Group Theory, Springer, (ISBN 978-3-7643-8961-1, lire en ligne), p. 143
- (en) Terence Tao et Van H. Vu, Additive Combinatorics, CUP, , 532 p. (ISBN 978-0-521-13656-3, lire en ligne), p. 200, Theorem 5.5
- (en) Melvyn Nathanson, Additive Number Theory : Inverse Problems and the Geometry of Sumsets, Springer, coll. « GTM » (no 165), , 296 p. (ISBN 978-0-387-94655-9, lire en ligne), p. 109-132
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kneser's theorem (combinatorics) » (voir la liste des auteurs).
Voir aussi
Articles connexes
Lien externe
(en) Hamidoune’s Freiman-Kneser theorem for nonabelian groups, , sur le blog de Terence Tao
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