Théorème de Hurwitz sur les suites de fonctions holomorphes

Soit {f_k} une suite de fonctions holomorphe sur un ensemble G ouvert et connexe qui converge uniformément sur les sous-ensembles compacts de G vers une fonction holomorphe f qui n'est pas nulle sur G. Si f a un zéro d'ordre m en z₀ alors pour tout ρ > 0 suffisamment petit et pour k ∈ N (qui dépend de ρ) suffisamment grand, f_k a précisément m zéros dans le disque défini par |z−z₀| < ρ, incluant la multiplicité. De plus, ces zéros convergent vers z₀ lorsque k → ∞.

Ce théorème ne garantit pas que le résultat est aussi vrai pour des disques arbitraires. En effet, si un disque est choisi tel que les zéros de f sont sur son bord, alors le théorème ne s'applique pas. Un exemple explicite est de considérer le disque unité D et la suite définie par

${\displaystyle f_{n}(z)=z-1+{\frac {1}{n}},\qquad z\in \mathbb {C} }$

qui converge uniformément vers f(z) = z−1. La fonction f(z) n'a aucun zéro dans D; cependant, chaque f_n a exactement un zéro dans le disque correspondant à la valeur réelle 1−(1/n).

Le théorème d'Hurwitz est utilisé dans la preuve du théorème d'application conforme[1], et a aussi les deux corollaires suivant comme conséquences immédiates :

• Soit G un ensemble ouvert et connexe et {f_n} une suite de fonctions holomorphe qui converge uniformément sur les sous-ensembles compacts de G vers une fonction holomorphe f. Si toutes les fonctions f_n sont non nulles en tout point de G, alors f est soit nulle, soit non nulle en tout point de G.
• Si {f_n} est une suite de fonctions univalentes sur un ensemble G ouvert et connexe qui converge uniformément sur les sous-ensembles compacts de G vers une fonction holomorphe f, alors f est soit univalente soit constante[1].

Soit f une fonction analytique sur un sous-ensemble ouvert du plan complexe avec un zéro d'ordre m en z₀, et supposons que {f_n} est une suite de fonctions qui converge uniformément sur des sous-ensembles compacts vers f. Fixons ρ > 0 tel que f(z) ≠ 0 dans 0 < |z−z₀| ≤ ρ. Choisissons δ tel que|f(z)| > δ pour z sur le cercle |z−z₀| = ρ. Étant donné que f_k(z) converge uniformément sur le disque que nous avons choisi, nous pouvons trouver N tel que |f_k(z)| ≥ δ/2 pour tout k ≥ N et tout z sur le cercle, assurant que le quotient f_k′(z)/f_k(z) est bien défini pour tout z sur le cercle |z−z₀| = ρ. Grâce au théorème de Morera, nous avons une convergence uniforme :

${\displaystyle {\frac {f_{k}'(z)}{f_{k}(z)}}\to {\frac {f'(z)}{f(z)}}.}$

Notons N_k le nombre de zéros de f_k(z) dans le disque, et appliquons le principe de l'argument pour trouver

${\displaystyle m={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\vert z-z_{0}\vert =\rho }{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\vert z-z_{0}\vert =\rho }{\frac {f'_{k}(z)}{f_{k}(z)}}\,dz=\lim _{k\to \infty }N_{k}}$

Dans l'étape ci-dessus, l'intégrale et la limite ont pu être échangées grâce à la convergence uniforme de l'intégrande. Nous avons montré que N_k → m lorsque k → ∞. Étant donné que les N_k sont des entiers, N_k doit être égal à m pour k suffisamment grand.

• Théorème de Rouché

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hurwitz's theorem (complex analysis) » (voir la liste des auteurs).
• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag, New York, New York, 1978.
• E. C. Titchmarsh, The Theory of Functions, second edition (Oxford University Press, 1939; reprinted 1985), p. 119.
• (en) « Théorème de Hurwitz sur les suites de fonctions holomorphes », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)