Théorème de Hadwiger

Soit ${\displaystyle K^{n}}$ la famille de tous les ensembles convexes et compacts dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Une valuation est une fonction ${\displaystyle v:K^{n}\to \mathbb {R} }$ telle que ${\displaystyle v(\emptyset )=0}$ et

${\displaystyle v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)~.}$

pour tous ${\displaystyle S,T\in K^{n}}$ tels que ${\displaystyle S\cup T\in K^{n}}$.

Une valuation est dite continue si elle est continue pour la métrique de Hausdorff. Une valuation est dite invariante par déplacements si ${\displaystyle v(\phi (S)=v(S)}$ pour ${\displaystyle S\in K^{n}}$ et pour toute fonction ${\displaystyle \phi }$ qui est une translation ou une rotation de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Les intégrales quermass ${\displaystyle W_{j}:K^{n}\to \mathbb {R} }$ sont définies via la formule de Steiner :

${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}~,}$

où ${\displaystyle B}$ est la boule euclidienne. Par exemple, ${\displaystyle W_{0}}$ est le volume, ${\displaystyle W_{1}}$ est proportionnel à la mesure de surface, ${\displaystyle W_{n-1}}$ est proportionnel à la largeur moyenne et ${\displaystyle W_{n}}$ est la constante ${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(B)}$. ${\displaystyle W_{j}}$ est une valuation homogène de degré ${\displaystyle n-j}$, c'est-à-dire

${\displaystyle W_{j}(tK)=t^{n-j}W_{j}(K)~,\quad t\geq 0~.}$