Théorème de Favard

Le théorème fut publié dans le cadre de la théorie des polynômes orthogonaux par Jean Favard en 1935[1] et (indépendamment, sous une forme plus précise) par James Shohat (en) en 1938[2], mais un résultat essentiellement équivalent avait été obtenu longtemps auparavant par Stieltjes dans l'étude des fractions continues (généralisées), et redécouvert à plusieurs reprises avant les travaux de Favard.

Soit y₀ = 1, y₁, ... une suite de polynômes avec y_n de degré n. Si c'est une suite de polynômes orthogonaux, elle vérifie une relation de récurrence à trois termes[3]. Le théorème de Favard en est essentiellement la réciproque, énonçant que si la suite vérifie une relation de récurrence de la forme

${\displaystyle y_{n+1}=(x-c_{n})y_{n}-d_{n}y_{n-1}}$

(les c_n et d_n étant des constantes réelles quelconques), alors il existe une forme linéaire Λ vérifiant Λ(1) = 1 telle que les polynômes y_n forment une suite « orthogonale » pour Λ, c'est-à-dire que Λ(y_my_n) = 0 si m ≠ n.

Avec ces conditions, Λ est unique, et est définie par Λ(1) = 1, Λ(y_n) = 0 si n > 0.

Λ vérifie ${\displaystyle \Lambda (y_{n}^{2})=d_{n}\Lambda (y_{n-1}^{2})}$ ; la forme bilinéaire ${\displaystyle (y,y')\mapsto \Lambda (yy')}$ est donc définie positive si et seulement si les d_n sont positifs ; Λ(y) est alors la projection orthogonale de y sur l'espace des constantes, pour le produit scalaire ainsi défini.

Shohat a démontré en 1938 que lorsque les d_n sont positifs, on peut écrire ${\displaystyle \Lambda (y)=\int y\,{\rm {d}}g}$ pour une fonction croissante ${\displaystyle g}$ convenable (l'intégrale étant prise au sens de Stieltjes), ce qui achève d'identifier les y_n à des polynômes orthogonaux.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Favard's theorem » (voir la liste des auteurs).

• (en) Theodore Seio Chihara, An introduction to orthogonal polynomials, vol. 13, New York, Gordon and Breach Science Publishers, coll. « Mathematics and its Applications », 1978, 249 p. (ISBN 978-0-677-04150-6, MR 0481884 Reprinted by Dover 2011, ISBN 978-0-486-47929-3, lire en ligne)
• Jean Favard, « Sur les polynômes de Tchebicheff. », C. R. Acad. Sci., Paris, vol. 200,‎ 1935, p. 2052–2053 (JFM 61.0288.01)
• (en) Q. I. Rahman et G. Schmeisser, Analytic theory of polynomials, vol. 26, Oxford, Oxford University Press, coll. « London Mathematical Society Monographs. New Series », 2002, 15–16 p. (ISBN 0-19-853493-0, zbMATH 1072.30006)
• J. Shohat, « Sur les polynômes orthogonaux généralisés. », C. R. Acad. Sci., Paris, vol. 207,‎ 1938, p. 556–558 (zbMATH 0019.40503)

• Mesure secondaire
• Transformée de Stieltjes