Théorème de Carnot (perpendiculaires concourantes)

Dans un triangle ${\displaystyle ABC}$, considérons trois droites perpendiculaires en ${\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}}$ aux côtés ${\displaystyle (BC),(CA),(AB)}$ du triangle.

Ces trois droites sont concourantes si et seulement si :

${\displaystyle AP_{c}^{2}+BP_{a}^{2}+CP_{b}^{2}=BP_{c}^{2}+CP_{a}^{2}+AP_{b}^{2}}$

Si le point de concours est F, on a d'après Pythagore : ${\displaystyle FC^{2}=FP_{a}^{2}+P_{a}C^{2}=FP_{b}^{2}+P_{b}C^{2}}$, donc ${\displaystyle FP_{b}^{2}-FP_{a}^{2}=CP_{a}^{2}-CP_{b}^{2}}$ ; de même, ${\displaystyle FP_{c}^{2}-FP_{b}^{2}=AP_{b}^{2}-AP_{c}^{2}}$, et ${\displaystyle FP_{c}^{2}-FP_{a}^{2}=BP_{a}^{2}-BP_{c}C^{2}}$ ; la somme des trois égalités donne la relation de Carnot.

La réciproque est démontrée dans [1].

Si le triangle ${\displaystyle ABC}$ est rectangle en ${\displaystyle C}$, on peut prendre ${\displaystyle P_{a}=C}$, ${\displaystyle P_{b}=A}$ et ${\displaystyle P_{c}=A}$ ; alors ${\displaystyle AP_{b}=0}$, ${\displaystyle AP_{c}=0}$, ${\displaystyle CP_{a}=0}$, ${\displaystyle CP_{b}=b}$, ${\displaystyle BP_{a}=a}$ et ${\displaystyle BP_{c}=c}$ . La relation du théorème de Carnot donne alors celle du théorème de Pythagore : ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ .

Un autre corollaire est la propriété de concourance des médiatrices du triangle. Dans ce cas, on a ${\displaystyle AP_{c}=BP_{c}}$, ${\displaystyle BP_{a}=CP_{a}}$ et ${\displaystyle CP_{b}=AP_{b}}$ , d'où la relation de Carnot ci-dessus.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Carnot's theorem (perpendiculars) » (voir la liste des auteurs).

• (de) Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger : Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet, Heidelberg, Spektrum Akademischer Verlag, 2010, 273–276 p. (ISBN 9783827426079, OCLC 699828882, lire en ligne)
• Alfred S. Posamentier et Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry, New York, Dover, 1996, 85–86 p. (ISBN 9780486134864, OCLC 829151719, lire en ligne)

• Florian Modler : Vergessene Sätze am Dreieck - Der Satz von Carnot sur matheplanet.com (allemand)
• Carnot's theoremt sur cut-the-knot.org