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Théorème d'Orlicz-Pettis

En analyse fonctionnelle (mathématique), le théorème d'Orlicz-Pettis établit un lien, pour une série dans un espace de Banach, entre la convergence des sous-séries pour la topologie faible et pour la topologie forte (celle de la norme) :

Pour une série dans un espace de Banach, si toutes les sous-séries () sont faiblement convergentes alors elles le sont aussi fortement, autrement dit[1] la série est inconditionnellement convergente.

Ce théorème a été démontré en 1929 par Władysław Orlicz[2] dans le cas d'un espace vectoriel normé faiblement séquentiellement complet[3] puis, indépendamment, en 1938 par Billy James Pettis dans le cas général[4]. Des preuves modernes[5] utilisent l'intégrale de Bochner. À l'inverse, c'est justement la théorie des intégrales à valeurs vectorielles qui motivait Pettis pour ce théorème. Ce résultat a connu toute une série de généralisations. Par exemple pour une série dans un espace localement convexe, si toutes les sous-séries convergent faiblement alors elles convergent pour la topologie de Mackey (en)[6].

Notes et références

(de)/(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en allemand « Satz von Orlicz-Pettis » (voir la liste des auteurs) et en anglais « Orlicz–Pettis theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) J. Diestel et J. J. Uhl, Jr., Vector Measures, Providence, R.I., AMS, coll. « Mathematical Surveys » (no 15), (lire en ligne), p. 22.
  2. (de) W. Orlicz, « Beitrage zur Theorie der Orthogonalentwicklungen II », Studia Math., vol. 1, , p. 241-255 (lire en ligne).
  3. Diestel et Uhl, Jr. 1977, p. 34.
  4. (en) B. J. Pettis, « On Integration in Vector Spaces », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 44, , p. 277-304 (lire en ligne).
  5. (en) Joseph Diestel, Sequences and Series in Banach Spaces, Springer, coll. « GTM » (no 92), (1re éd. 1984) (ISBN 978-1-4612-9734-5).
  6. (en) Peter Dierolf, « Theorems of the Orlicz-Pettis Type for Locally Convex Spaces », Manuscripta Mathematica, vol. 20, , p. 73-94 (lire en ligne).
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