Théorème d'Erdős-Selfridge

Énoncé[1] :

Le produit d'au moins deux entiers naturels non nuls consécutifs n'est jamais une puissance d'entier.

De façon plus formelle :

L' équation diophantienne

${\displaystyle (n+1)(n+2)\cdots (n+k)=m^{r}}$

n'a pas de solution pour des entiers ${\displaystyle n\geqslant 0,k\geqslant 2,r\geqslant 2,m\geqslant 2}$.

NB : le problème pour ${\displaystyle k\leqslant 3}$ se résout de manière élémentaire[2].

Paul Erdős a également résolu deux problèmes du même type :

1. Le produit de deux ou plusieurs entiers naturels impairs consécutifs n'est jamais une puissance d'entier (Erdős 1939).
2. Le coefficient binomial ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ pour ${\displaystyle 4\leqslant k\leqslant n-4}$ n'est jamais une puissance d'entier (Erdős 1951)[3].

• Théorèmes d'Erdős

• Paul Erdős, János Surányi : Topics in the Theory of Numbers. Traduction de Barry Guiduli (Undergraduate Texts in Mathematics). 2^e édition. Springer Verlag, New York 2003, (ISBN 0-387-95320-5)
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers, North-Holland Mathematical Library, Band 31, North-Holland, Amsterdam, 1988, (ISBN 0-444-86662-0).

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