Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables)

Le théorème d'Euler, nommé d'après le mathématicien suisse Leonhard Euler, est un résultat d'analyse à plusieurs variables utile en thermodynamique et en économie. Il s'énonce comme suit.

Soient $C$ un cône de ℝⁿ et $k$ un réel.

Une fonction de plusieurs variables $f : C \to$ ℝ^m différentiable en tout point est positivement homogène de degré $k$ si et seulement si la relation suivante, appelée identité d'Euler, est vérifiée[1] :
$\forall x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in C,\quad \sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)=kf(x)$ .

Généralisation

Soient $E$ et $F$ deux $K$ -espaces vectoriels normés ( $K=\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$ ), $C$ un cône de $E$ et $k$ un élément de $K$ .

Une fonction différentiable $f:C\to F$ est positivement homogène de degré $k$ si et seulement si[2] :
$\forall x\in C\quad \mathrm {d} f_{x}(x)=kf(x)$ .

Notes et références

Pour une démonstration, voir par exemple (au choix) :
- Fonctions de plusieurs variables : cours de Christophe Boilley ;
- preuve du cas particulier $m=1$ (dont le cas général se déduit en raisonnant composante par composante) dans Jacques Douchet et Bruno Zwahlen, Calcul différentiel et intégral : fonctions réelles d'une ou de plusieurs variables réelles, PPUR, 2006 (lire en ligne), p. 301-302 ;
- preuve de la généralisation ci-dessous.
Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Voir aussi

Lien externe

Leçon 02 - Cours : Fonctions à plusieurs variables (cours L2 université Paris-Saclay)

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