Théorème d'Erdős-Wintner

On dit qu'une fonction arithmétique ${\displaystyle f}$ possède une fonction de répartition ${\displaystyle F}$ (ou bien : possède une loi limite de répartition ${\displaystyle F}$) si la suite de fonctions de répartition ${\textstyle (F_{N})_{N\geqslant 1}}$définie par

$${\displaystyle F_{N}(z):={\frac {1}{N}}\left|\left\{n\leqslant N:f(n)\leqslant z\right\}\right|\qquad (z\in \mathbb {R} )}$$

converge faiblement (ou bien simplement) vers ${\displaystyle F}$ et si ${\displaystyle F}$ est une fonction de répartition.

Dans ce cas, on dira plus simplement que ${\displaystyle f}$ possède une loi limite.

L'énoncé suivant s'inspire fortement du livre[1] écrit par Tenenbaum. Dans la suite, on désignera par la lettre ${\displaystyle p}$ tout nombre premier.

Une fonction additive réelle ${\displaystyle f}$ possède une loi limite si, et seulement si, les trois séries

$${\displaystyle \sum _{|f(p)|>R}\,{\frac {1}{p}},\qquad \sum _{|f(p)|\leqslant R}\,{\frac {f(p)}{p}}\qquad \mathrm {et} \qquad \sum _{|f(p)|\leqslant R}\,{\frac {f(p)^{2}}{p}}}$$

sont simultanément convergentes pour au moins une valeur du nombre réel positif ${\displaystyle R}$.

Lorsque ces conditions sont remplies, la fonction caractéristique de la loi limite est donnée par le produit convergent

$${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\sum _{\nu \geqslant 0}{\frac {\mathrm {e} ^{i\tau f(p^{\nu })}}{p^{\nu }}}\qquad (\tau \in \mathbb {R} ).}$$