Théorème d'Alfvén

Dans le cas d'un fluide dont la conductivité électrique est infinie, la variation du flux magnétique au cours du temps peut être exprimée comme

${\displaystyle {d\Phi _{B} \over dt}=\int _{S}{\partial {\vec {B}} \over \partial t}\cdot d{\vec {S}}+\oint _{C}{\vec {B}}\cdot {\vec {v}}\times d{\vec {l}},}$

où ${\displaystyle {\vec {B}}}$ et ${\displaystyle {\vec {v}}}$ désignent respectivement le champ magnétique et le champ des vitesses. Ici, ${\displaystyle {\vec {S}}}$ désigne une surface entourée par un chemin fermé ${\displaystyle C}$ dont l'élément curviligne infinitésimal s'écrit ${\displaystyle d{\vec {l}}}$. En utilisant l'équation d'induction de Faraday dans le cas d'une conductivité infinie

${\displaystyle {\partial {\vec {B}} \over \partial t}={\vec {\nabla }}\times ({\vec {v}}\times {\vec {B}}),}$

conduit à

${\displaystyle {d\Phi _{B} \over dt}=\int _{S}{\vec {\nabla }}\times ({\vec {v}}\times {\vec {B}})\cdot d{\vec {S}}+\oint _{C}{\vec {B}}\cdot {\vec {v}}\times d{\vec {l}}.}$

Cette somme d'intégrales peut être réécrite en utilisant le théorème de Stokes pour la première, ainsi que l'identité vectorielle ${\displaystyle ({\vec {A}}\times {\vec {B}})\cdot {\vec {C}}=-{\vec {B}}\cdot ({\vec {A}}\times {\vec {C}})}$ pour la seconde. Le résultat s'écrit

${\displaystyle \int _{S}{\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}=const.}$

Il s'agit de la formulation mathématique du théorème d'Alfven: Le champ magnétique passant à travers une surface en mouvement avec le fluide est constant.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Alfvén's Theorem » (voir la liste des auteurs).