Test de Wilcoxon-Mann-Whitney

On considère deux populations X et Y de tailles respectives ${\displaystyle n_{x}}$ et ${\displaystyle n_{y}}$. On suppose les observations indépendantes et disposant d'une relation d'ordre. On souhaite tester l'hypothèse suivante :

H₀ : la probabilité qu'une observation de la population X soit supérieure à une observation de la population Y est égale à la probabilité qu'une observation de la population Y soit supérieure à une observation de la population X : P(X > Y) = P(Y > X).

En général l'hypothèse plus forte « les deux distributions sont égales » est utilisée.

Si nous ordonnons les ${\displaystyle (n_{x}+n_{y})}$ éléments de ${\displaystyle X\cup Y}$ par ordre croissant, nous pouvons définir, pour chaque individu, son rang dans la séquence ainsi formée. Soit ${\displaystyle S_{x}}$ la somme des ${\displaystyle n_{x}}$ rangs des éléments de X.

On montre que, sous H₀, l'évènement ${\displaystyle S_{x}=t}$ suit une distribution connue, tabulée pour de petits échantillons et qui peut être approchée par une loi de probabilité gaussienne de moyenne ${\displaystyle E=n_{x}n_{y}/2}$ et de variance ${\displaystyle V={\frac {n_{x}n_{y}(n_{x}+n_{y}+1)}{12}}}$ pour des échantillons de taille supérieure à 20 environ.

Le test est construit en confrontant la valeur effectivement obtenue à cette moyenne et cet écart type : on peut ainsi estimer la probabilité de cette valeur sous l'hypothèse nulle et ainsi décider ou non de rejeter cette hypothèse nulle.

On calculera la valeur : ${\displaystyle \varepsilon =\left|S_{x}-E\right|/\surd (V)}$, qui, si elle est supérieure à 1,96 (risque de 5 %), permet de rejeter l'hypothèse nulle H₀ d'égalité des deux échantillons.

• wilcox.test avec R et la bibliothèque "stats"
• scipy.stats.mannwhitneyu avec Python3 et le module "scipy.stats"
• pingouin.mwu avec Python3 et le module "pingouin"