Test de Shapiro-Wilk

La statistique de test ${\displaystyle W}$ est:

${\displaystyle W={\left(\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}x_{(i)}\right)^{2} \over \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}$

où

• x_(i) (avec des parenthèses entourant l'indice i) désigne la ième statistique d'ordre, i.e., le ième plus petit nombre dans l'échantillon;
• ${\displaystyle {\overline {x}}={\tfrac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})}$ est la moyenne de l'échantillon;
• la constante a_i est donnée par[2]

${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})={m^{\top }V^{-1} \over (m^{\top }V^{-1}V^{-1}m)^{1/2}}}$

où

${\displaystyle m=(m_{1},\dots ,m_{n})^{\top }\,}$

et ${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{n}}$ sont les espérances des statistiques d'ordre d'un échantillon de variables iid suivant une loi normale, et V est la matrice de variance-covariance de ces statistiques d'ordre.

Pour conclure, ${\displaystyle W}$ est alors comparé à une table[3].

Sachant que l'hypothèse nulle est que la population est normalement distribuée,

• si la p-value est inférieure à un niveau alpha choisi (par exemple 0.05), alors l'hypothèse nulle est rejetée (i.e. il est improbable d'obtenir de telles données en supposant qu'elles soient normalement distribuées).
• si la p-value est supérieure au niveau alpha choisi (par exemple 0.05), alors on ne doit pas rejeter l'hypothèse nulle. La valeur de la p-value alors obtenue ne présuppose en rien de la nature de la distribution des données.

Voir aussi Q-Q plot ou droite de Henry.

• Loi normale
• Test de Kolmogorov-Smirnov
• Droite de Henry

• Algorithm AS R94 (Shapiro Wilk) FORTRAN code
• Shapiro–Wilk Normality Test in CRAN
• Shapiro–Wilk Normality Test in QtiPlot
• How do I interpret the Shapiro-Wilk test for normality?
• Online version of the Shapiro-Wilk test
• Test de Shapiro avec R
• Test de Shapiro avec Python