Test de Jarque-Bera

Comme pour chaque test d'hypothèse, il faut poser une hypothèse nulle à valider :

• ${\displaystyle H_{0}}$: les données suivent une loi normale.
• ${\displaystyle H_{1}}$: les données ne suivent pas une loi normale.

La variable de Jarque-Bera s'écrit

${\displaystyle {\mathit {JB}}={\frac {n-k}{6}}\left(S^{2}+{\frac {(K-3)^{2}}{4}}\right)}$

avec:

• n, le nombre d'observations
• k, le nombre de variables explicatives si les données proviennent des résidus d'une régression linéaire. Sinon, k reste nul.
• S, le coefficient d'asymétrie de l'échantillon testé.
• K, la kurtosis de l'échantillon testé.

Mathématiquement, S et K sont définis par:

${\displaystyle {\begin{aligned}&S={\frac {{\hat {\mu }}_{3}}{{\hat {\sigma }}^{3}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{3/2}}}\\&K={\frac {{\hat {\mu }}_{4}}{{\hat {\sigma }}^{4}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{2}}},\end{aligned}}}$

avec ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{3}}$ et ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{4}}$ les estimateurs du troisième et quatrième moments, ${\displaystyle {\bar {x}}}$ est la moyenne de l'échantillon et ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$ est la variance de l'échantillon.

La statistique JB suit asymptotiquement une loi du χ² à deux degrés de liberté.

Ce test est fréquemment utilisé pour déterminer si les résidus d'une régression linéaire suivent une distribution normale. Certains auteurs[1] proposent de corriger par le nombre k de régresseurs, tandis que d'autres [2] ne le mentionnent pas.

Une loi normale a un coefficient d'asymétrie de 0 et une kurtosis de 3. On saisit alors que si les données suivent une loi normale, le test s'approche alors de 0 et on accepte (ne rejette pas) H₀ au seuil α.

Le test de Jarque-Bera ne teste pas à proprement parler si les données suivent une loi normale, mais plutôt si le kurtosis et le coefficient d'asymétrie des données sont les mêmes que ceux d'une loi normale de même espérance et variance.

On a donc:

${\displaystyle H_{0}:S=0{\mbox{ et }}K=3\,}$

${\displaystyle H_{1}:S\neq 0{\mbox{ ou }}K\neq 3\,}$

Il s'agit d'un test du type multiplicateur de Lagrange.

Avec le logiciel libre de statistiques R, il est possible de calculer le test de Jarque-Bera à partir du paquet tseries.

Un autre paquet, normtest, propose plusieurs autres test de normalité.

Pour calculer le test de Jarque-Bera dans un environnement basé sur le langage Python, le paquet "scipy.stats" propose une fonction dédiée nommée "jarque_bera"[3].

Jarque, Carlos M. & Anil K. Bera (1980). Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals. Economics Letters 6 (3): 255–259.

Bera, Anil K., Carlos M. Jarque (1981). Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals: Monte Carlo evidence. Economics Letters 7 (4): 313–318

Jarque, C. M. & Bera, A. K. (1987), A test for normality of observations and regression residuals, International Statistical Review 55, 163–172.

• Test d'hypothèse
• Test du χ², section Test d'adéquation
• Loi normale, section Tests de normalité

Ricco Rakotomalala, Tests de Normalité, Techniques empiriques et Tests statistiques

Raymond Sneyers, Sur les tests de normalité, Revue de Statistique Appliquée, 2(22), 29-36, 1974.