Tableau de Wythoff

Inspiré par un tableau que Stolarsky avait défini précédemment [1], Morrison[2] définit le tableau de Wythoff comme suit.

La ${\displaystyle i}$-ème position gagnante dans le jeu de Wythoff est donnée par le couple d'entiers positifs ${\displaystyle (\lfloor i\varphi \rfloor ,\lfloor i\varphi ^{2}\rfloor )}$, où ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ est le nombre d'or ; ses deux coordonnées définissent deux suites de Beatty complémentaires qui, ensemble, incluent tout entier strictement positif une fois exactement.

Les deux premiers nombres de la ligne ${\displaystyle m}$ du tableau sont alors les deux éléments du couple de Wythoff donné par la relation ${\displaystyle i=\lfloor m\varphi \rfloor }$, et les nombres restants dans la ligne sont déterminés par la relation de récurrence de Fibonacci. Autrement dit, si ${\displaystyle A_{m,n}}$ désigne le coefficient de la ligne ${\displaystyle m}$ et de la colonne ${\displaystyle n}$ du tableau :

${\displaystyle A_{m,1}=\left\lfloor \lfloor m\varphi \rfloor \varphi \right\rfloor }$ ,

${\displaystyle A_{m,2}=\left\lfloor \lfloor m\varphi \rfloor \varphi ^{2}\right\rfloor }$, et

${\displaystyle A_{m,n}=A_{m,n-2}+A_{m,n-1}}$ pour ${\displaystyle n>2}$ .

Un formule valable pour tout ${\displaystyle (m,n)}$ est ${\displaystyle A_{m,n}=(m-1)F_{n}+\left\lfloor m\varphi \right\rfloor F_{n+1}}$.

La représentation de Zeckendorf de tout entier strictement positif est une écriture, unique, comme somme de termes non consécutifs et non nuls de la suite de Fibonacci. Comme Kimberling l'a remarqué [3], les termes des lignes du tableau ont une représentation de Zeckendorf dont les termes se décalent régulièrement dans la suite de Fibonacci, et les termes des colonnes ont des représentations de Zeckendorf ayant le même plus petit terme.

Par exemple, dans la deuxième ligne, 4=1+3, 7=2+5, 11=3+8 etc. Et dans la deuxième colonne, 7=2+4, 10=2+8, 15 = 2+13, 20= 2 +5 +13 avec ${\displaystyle 2=F_{3}}$.

Plus généralement, si l'on classe dans l'ordre croissant les nombres dont la représentation de Zeckendorf commence par le nombre de Fibonacci d'indice ${\displaystyle n+1}$, le terme ${\displaystyle A_{m,n}}$ du tableau est le ${\displaystyle m}$-ième d'entre eux.