Système de coordonnées célestes

Le système du soleil est en bleu, celui de la terre en rouge. Le soleil est orienté selon OL. P est la position sur terre. a est l'angle horaire. az est l’azimut. z est le zénith. ${\displaystyle \varphi }$ est la latitude. ${\displaystyle \delta }$ est la déclinaison. Remarque: ${\displaystyle h+z={\frac {\pi }{2}}}$

Il existe des formules permettant de passer, de proche en proche, d'un système de coordonnées célestes à un autre système de coordonnées célestes.

Dans le formulaire qui suit, les groupes formés de trois formules doivent être entièrement pris en compte (on ne peut se contenter de respecter 2 formules sur 3), car les fonctions inverses des sinus et des cosinus ne donnent pas nécessairement la bonne solution.


Grâce à la trigonométrie sphérique (formule des cosinus), le triangle sphérique ${\displaystyle PNL}$ du graphique livre les relations suivantes :
${\displaystyle \cos(z)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi \right)\cdot \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\delta \right)+\cos(a)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi \right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\delta \right)}$ mais aussi
${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\delta \right)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi \right)\cdot \cos(z)+\cos(\pi -az)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi \right)\cdot \sin(z)}$
Le triangle sphérique ${\displaystyle PQL}$ du graphique livre la relation suivante pour le cosinus de l'angle en pointillé :
${\displaystyle \cos(z)\cdot \cos(\varphi )+\cos(az)\cdot \sin(z)\cdot \sin(\varphi )}$, qui vaut également ${\displaystyle \cos(a)\cdot \cos(\delta )}$
Ainsi ${\displaystyle \cos(z)\cdot \cos(\varphi )+\cos(az)\cdot \sin(z)\cdot \sin(\varphi )=\cos(a)\cdot \cos(\delta )}$

En résumé, nous obtenons, grâce à la trigonométrie sphérique :
${\displaystyle \sin(h)=\sin(\varphi )\cdot \sin(\delta )+\cos(a)\cdot \cos(\varphi )\cdot \cos(\delta )}$
${\displaystyle \sin(\delta )=\sin(\varphi )\cdot \sin(h)-\cos(az)\cdot \cos(\varphi )\cdot \cos(h)}$
${\displaystyle \sin(h)\cdot \cos(\varphi )+\cos(az)\cdot \cos(h)\cdot \sin(\varphi )=\cos(a)\cdot \cos(\delta )}$
formules en tout point identiques à celles indiquées en dessous (il faut juste remplacer ${\displaystyle a}$ par ${\displaystyle A_{H}}$ et ${\displaystyle az}$ par ${\displaystyle Z}$).

Remarquons enfin que :
${\displaystyle \sin(\varphi )\cdot \cos(\delta )\cdot \cos(a)-\cos(\varphi )\cdot \sin(\delta )=\sin(\varphi )\cdot (\sin(h)\cdot \cos(\varphi )+\cos(az)\cdot \cos(h)\cdot \sin(\varphi ))-\cos(\varphi )\cdot (\sin(\varphi )\cdot \sin(h)-\cos(az)\cdot \cos(\varphi )\cdot \cos(h))}$ et donc ${\displaystyle \sin(\varphi )\cdot \cos(\delta )\cdot \cos(a)-\cos(\varphi )\cdot \sin(\delta )=\cos(h)\cdot \cos(az)}$

Des coordonnées horizontales aux coordonnées horaires

Connaissant les valeurs respectives Z et h de l'azimut et de la hauteur, la déclinaison δ et l'angle horaire A_H peuvent être obtenus grâce aux trois formules suivantes :

${\displaystyle {\begin{matrix}\sin \delta &=&\sin \varphi \sin h-\cos \varphi \cos h\cos Z\\\cos \delta \sin A_{H}&=&\cos h\sin Z\\\cos \delta \cos A_{H}&=&\cos \varphi \sin h+\sin \varphi \cos h\cos Z\end{matrix}}}$

où l'angle ${\displaystyle \varphi }$ représente la latitude astronomique du lieu d'observation. L'azimut Z est compté à partir du sud géographique, croissant vers l'ouest.

Des coordonnées horaires aux coordonnées horizontales

Connaissant les valeurs respectives A_H et δ de l'angle horaire et de la déclinaison, la hauteur h et l'azimut Z peuvent être obtenus grâce aux trois formules suivantes :

${\displaystyle {\begin{matrix}\sin h&=&\cos \varphi \cos \delta \cos A_{H}+\sin \varphi \sin \delta \\\cos h\sin Z&=&cos\,\delta \sin A_{H}\\\cos h\cos Z&=&\sin \varphi \cos \delta \cos A_{H}-\cos \varphi \sin \delta \end{matrix}}}$

où l'angle ${\displaystyle \varphi }$ représente la latitude astronomique du lieu d'observation.

Des coordonnées horaires aux coordonnées équatoriales

Connaissant les valeurs respectives A_H et δ de l'angle horaire et de la déclinaison, l'ascension droite α peut être obtenue très simplement grâce à l'unique formule suivante (la déclinaison reste la même) :

${\displaystyle \alpha =S_{l}-A_{H}\,}$

où ${\displaystyle S_{l}}$ représente le temps sidéral au moment de l'observation.

Des coordonnées équatoriales aux coordonnées horaires

Connaissant les valeurs respectives α et δ de l'ascension droite et de la déclinaison, l'angle horaire ${\displaystyle A_{H}}$ peut être obtenu très simplement grâce à l'unique formule suivante (la déclinaison reste la même) :

${\displaystyle A_{H}=S_{l}-\alpha \,}$

où ${\displaystyle S_{l}}$ représente le temps sidéral au moment de l'observation.

Des coordonnées équatoriales vers les coordonnées écliptiques

Connaissant les valeurs respectives α et δ de l'ascension droite et de la déclinaison, les coordonnées écliptiques ß (latitude) et λ (longitude) peuvent être obtenues grâce aux trois formules suivantes :

${\displaystyle {\begin{matrix}\sin \beta &=&\cos \varepsilon \sin \delta -\sin \varepsilon \sin \alpha \cos \delta \\\cos \lambda \cos \beta &=&\cos \alpha \cos \delta \\\sin \lambda \cos \beta &=&\sin \varepsilon \sin \delta +\cos \varepsilon \sin \alpha \cos \delta \end{matrix}}}$

où ε = 23.439281° représente l'obliquité de l'écliptique, c'est-à-dire l'angle que forme le plan de l'équateur terrestre avec le plan de l'orbite terrestre autour du soleil.

Des coordonnées écliptiques vers les coordonnées équatoriales

Connaissant les valeurs respectives λ et ß de la longitude et de la latitude écliptiques, la déclinaison δ et l'ascension droite α peuvent être obtenues grâce aux trois formules suivantes :

${\displaystyle {\begin{matrix}\sin \delta &=&\sin \varepsilon \sin \lambda \cos \beta +\cos \varepsilon \sin \beta \\\cos \alpha \cos \delta &=&\cos \lambda \cos \beta \\\sin \alpha \cos \delta &=&\cos \varepsilon \sin \lambda \cos \beta -\sin \varepsilon \sin \beta \end{matrix}}}$

où ε = 23.439281° représente l'obliquité de l'écliptique, c'est-à-dire l'angle que forme le plan de l'équateur terrestre avec le plan de l'orbite terrestre autour du soleil.

• Coordonnées sphériques