Système d'équations

• Un exemple élémentaire de système d'équations linéaires est :${\displaystyle {\begin{cases}3x+y=5\\4x-y=9.\end{cases}}}$Ce système a une unique solution ${\displaystyle (x,y)=(2,-1)}$.
• On peut également former de systèmes d'équations non linéaires :${\displaystyle {\begin{cases}x^{2}+y^{2}=16\\x-y=4.\end{cases}}}$Celui-ci admet deux solutions ${\displaystyle (x,y)=(4,0)}$ et ${\displaystyle (x,y)=(0,-4)}$.
• Exemple de système non linéaire de 2 équations à 2 inconnues sans solution réelle :${\displaystyle {\begin{cases}x^{2}+y^{2}=0\\x+y=1.\end{cases}}}$La combinaison de ces deux équations permet d’obtenir l’équation du second degré :${\displaystyle 2x^{2}-2x+1=0}$, dont le discriminant est égal à ${\displaystyle -4}$.

Le système n’a donc aucune solution réelle, mais deux solutions dans l’ensemble des nombres complexes, qui correspondent aux deux couples possibles formés des 2 solutions complexes conjuguées (${\displaystyle z_{1}=a+ib}$ et ${\displaystyle z_{2}=a-ib}$) de l’équation du second degré ci-dessus. Ce nombre de solutions résulte d’une particularité du système d’équations, qui reste inchangé par permutation des inconnues.

• Une autre catégorie de systèmes, très utilisés en physique, sont les systèmes d'équations différentielles. L'exemple suivant est un système dynamique différentiel linéaire du premier ordre, appelé système dynamique de Lorenz :

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=\sigma {\bigl (}y(t)-x(t){\bigr )}\\{\frac {\mathrm {d} y(t)}{\mathrm {d} t}}=\rho \,x(t)-y(t)-x(t)\,z(t)\\{\frac {\mathrm {d} z(t)}{\mathrm {d} t}}=x(t)\,y(t)-\beta \,z(t).\end{cases}}}$