Synthèse des filtres linéaires

De ces trois propriétés, on peut déduire qu'un filtre linéaire est caractérisé par une fonction h telle que la réponse du filtre à tout signal d'entrée e soit :

${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(t-\tau )e(\tau )\,d\tau }$

Il s'agit du produit de convolution des fonctions h et e que l'on peut aussi noter :

${\displaystyle s=h*e}$

h est appelée la réponse impulsionnelle du filtre. La connaitre permet de caractériser totalement le filtre.

Une autre façon de caractériser un filtre est sa fonction de transfert, qui est liée à la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle :

${\displaystyle {\tilde {h}}(p)=\left.S(e^{pt})\right|_{t=0}={\mathcal {L}}(h)(-p)}$

Le fait que l'opération réalisée par le filtre soit une convolution invite à étudier les transformées de Fourier des signaux :

${\displaystyle s=h*e\Rightarrow {\hat {s}}={\hat {h}}{\hat {e}}}$

donc :

${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {h}}(\nu ){\hat {e}}(\nu )e^{2\imath \pi \nu t}\,d\nu }$

On remarque qu'en particulier :

${\displaystyle e(t)=e^{2\imath \pi \nu _{0}t}\Rightarrow s(t)={\hat {h}}(\nu _{0})e(t)}$

Les fonctions ${\displaystyle t\mapsto e^{2\imath \pi \nu t}}$ sont donc les fonctions propres des filtres linéaires, ce qui explique que la transformation de Fourier, qui fait appel aux mêmes fonctions, soit un outil privilégié pour l'analyse des systèmes linéaires stationnaires continus[1].

• Stabilité des filtres linéaires
• Wilhelm Cauer

• (fr) Faculté Polytechnique de Mons (Thierry Dutoit) - Introduction à la synthèse des filtres actifs