Suite de Robinson

Le premier terme de la suite de Robinson est posé comme égal à 0. Chaque terme de la suite se construit ensuite en comptant le nombre d'apparitions des différents chiffres de 9 à 0 (dans cet ordre) dans le terme précédent. Si un chiffre n'apparaît pas, il n'est pas pris en compte.

Concrètement :

${\displaystyle X_{0}=0}$

Ce terme comporte juste un « 0 ». Par conséquent, le terme suivant est :

${\displaystyle X_{1}=10}$

Celui-ci est composé d'un « 1 » et d'un « 0 » :

${\displaystyle X_{2}=1110}$

En poursuivant le procédé :

${\displaystyle X_{3}=3110}$

${\displaystyle X_{4}=132110}$

${\displaystyle X_{5}=13123110}$

${\displaystyle X_{6}=23124110}$

${\displaystyle X_{7}=1413223110}$

${\displaystyle X_{8}=1423224110}$

${\displaystyle X_{9}=2413323110}$

${\displaystyle X_{10}=1433223110}$

${\displaystyle X_{11}=1433223110.}$

La suite[1] stationne donc à la valeur ${\displaystyle X_{10}.}$

On constate qu'à partir du 11^e terme de la suite, tous les termes sont égaux à ${\displaystyle 1433223110}$. Si le terme initial est choisi entre 1 et 39, la suite atteint également une valeur constante au bout d'un certain nombre de termes. Si ${\displaystyle X_{0}=40}$, au bout du 10^e terme, la suite oscille entre les valeurs ${\displaystyle 152423224110}$ et ${\displaystyle 152413423110}$. Pour ${\displaystyle X_{0}=50}$, la suite finit par osciller entre les valeurs ${\displaystyle 16251423225110}$, ${\displaystyle 16251413424110}$ et ${\displaystyle 16153413225110}$.

Il a été montré[2] qu'à partir de toute valeur initiale, la suite finit soit par être constante, soit par osciller entre deux ou trois valeurs.

• (en) Hervé Lehning, « Computer-aided or analytic proof? », College Mathematics Journal, vol. 21, n^o 3,‎ 1990, p. 228-239 (DOI 10.1080/07468342.1990.11973313).
• (en) Jim Sauerberg et Linghsueh Shu, « The Long and the Short on Counting Sequences », The American Mathematical Monthly, vol. 104, n^o 4,‎ 1997, p. 306-317 (DOI 10.1080/00029890.1997.11990642, JSTOR 2974579, lire en ligne).