Calcul sur l'intervalle unité
Chaque polynôme
se trouve sous la forme suivante :
![](https://img.franco.wiki/i/HermiteBasis.svg.png.webp)
Les quatre polynômes de base
![P_{i}\in Vect\{h_{{00}},h_{{10}},h_{{01}},h_{{11}}\}\,](https://img.franco.wiki/i/a604d06c4249a674ffd02e64cc2420e195d27f65.svg)
avec
![h_{{00}}(t)=2t^{3}-3t^{2}+1\,\!](https://img.franco.wiki/i/82a71f6bc67516b4a016baa6e121822fec3c5ab8.svg)
![h_{{10}}(t)=t^{3}-2t^{2}+t\,\!](https://img.franco.wiki/i/3585c92e72176de19389970e334ccad9d9f54f2e.svg)
![h_{{01}}(t)=-2t^{3}+3t^{2}\,\!](https://img.franco.wiki/i/69e6b212f65448593eaff72b4abe8bac03634850.svg)
![h_{{11}}(t)=t^{3}-t^{2}\,\!](https://img.franco.wiki/i/244761015b22f6ec6645f152399a09af336f571d.svg)
ce qui donne le polynôme suivant :
![p(t)=h_{{00}}(t)p_{0}+h_{{10}}(t)m_{0}+h_{{01}}(t)p_{1}+h_{{11}}(t)m_{1}.](https://img.franco.wiki/i/4491893b0e4e424358b449ee377817261bb5417e.svg)
Sous cette écriture, il est possible de voir que le polynôme p vérifie :
![p(0)=p_{0},\,p(1)=p_{1},\,p'(0)=m_{0}{\text{ et }}p'(1)=m_{1}.](https://img.franco.wiki/i/767d9d3ba3961b98d38a91cc768d504917c76d36.svg)
La courbe est déterminée par la position des points et des tangentes.
Extension à un intervalle quelconque
Pour trouver le polynôme tel que :
il faut poser :
![{\displaystyle p(t)=h_{00}(t)p_{0}+h_{10}(t)m_{0}\cdot (x_{1}-x_{0})+h_{01}(t)p_{1}+h_{11}(t)m_{1}\cdot (x_{1}-x_{0}).\!}](https://img.franco.wiki/i/a4e34568a7dc40ec7db8b084eea4383d9545b114.svg)
et
![{\displaystyle P(x)=p\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)}](https://img.franco.wiki/i/7f5eff10ebc92e5c95a926c0de5b9ff2e33f02b3.svg)
alors :
![P(x_{0})=p\left({\frac {x_{0}-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)=p(0)=p_{0},\ P(x_{1})=p\left({\frac {x_{1}-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)=p(1)=p_{1}](https://img.franco.wiki/i/2af67bbe22488945dedfb36ce7f5eadeae811713.svg)
![P'(x)={\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}p'\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)](https://img.franco.wiki/i/d66538f0c5c6a7d88384c3a74700e3fd4e675f1a.svg)
d'où
![{\displaystyle P'(x_{0})={\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}p'\left({\frac {x_{0}-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)={\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}p'(0)=m_{0}(x_{1}-x_{0})\cdot {\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}=m_{0},}](https://img.franco.wiki/i/22877e3aaaa27b4e704214448464f9d3c3116fb5.svg)
![{\displaystyle P'(x_{1})={\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}p'\left({\frac {x_{1}-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)={\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}p'(1)=m_{1}(x_{1}-x_{0})\cdot {\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}=m_{1}.}](https://img.franco.wiki/i/0bb2832d2adf970cf0e7c05771cdaee22ea3ff2f.svg)