Spirale de Sacks

La position de chaque entier est représentée par les coordonnées polaires suivantes :

• ${\displaystyle r={\sqrt {n}}}$
• ${\displaystyle a={\sqrt {n}}}$

où a représente un nombre de rotations, et non un angle en radians ou degrés.

• Alignements toujours vides en nombres premiers :
  • Rayon horizontal de droite : nombres carrés ⇒ jamais premiers
  • Ligne immédiatement inférieure : nombres de la forme n² – 1 ⇒ toujours divisibles par n + 1 et n – 1
  • Rayon horizontal de gauche : nombres de la forme n² + n ⇒ toujours divisibles par n et n + 1.
  • Voisinage des rayons verticaux.

• Courbes apparaissant anormalement denses en nombres premiers.
  • Spirale dense en nombres premiers se terminant, dans l'illustration ci-contre, presque au bas du disque : Nombres de la forme n² + n + 41, Il s'agit du polynôme découvert par Leonhard Euler en 1774 et qui porte son nom.
  • Autre spirale dense, 24 rangs au-dessus : nombres de la forme n² + n + 17
  • Ligne immédiatement au-dessus du rayon horizontal de gauche : nombres de la forme n² + n – 1

L'étendue de ces alignements aux grands nombres premiers est aujourd'hui inconnue.

Spirale de Sacks du nombre de diviseurs des 100 000 premiers entiers naturels.

Tout comme pour la spirale d'Ulam, une autre façon de mettre en évidence des courbes remarquables est de tracer au-dessus de chaque nombre placé sur la spirale, un disque de diamètre égal à son nombre de diviseurs. Les nombres premiers sont donc représentés par un disque de diamètre 2.