Sphère d'Ewald

Construction générale de la sphère d'Ewald.

Dans la géométrie la plus simple, on considère un faisceau incident monochromatique sur un cristal fixe. Le faisceau est décrit par son vecteur d'onde, généralement noté ${\displaystyle {\vec {k}}}$ de direction et de longueur fixées par l'expérience. Le cristal est décrit par son réseau réciproque, dont l'orientation est également fixée par les conditions de l'expérience.

Le rayonnement diffusé par le cristal peut avoir a priori n'importe quelle direction ; on impose simplement que son énergie soit identique à celle du faisceau incident (hypothèse de la diffusion élastique). Graphiquement, le vecteur d'onde ${\displaystyle {\vec {k}}'}$ correspondant au faisceau diffusé sera donc de même longueur que le vecteur du faisceau incident.

On s'intéresse au vecteur de diffusion ${\displaystyle {\vec {Q}}}$ défini par ${\displaystyle {\vec {k}}'-{\vec {k}}}$. La sphère d'Ewald est la sphère définie par le lieu des extrémités possibles du vecteur ${\displaystyle {\vec {Q}}}$ pour toutes les directions possibles du faisceau diffusé. Cette sphère contient l'origine du réseau réciproque et a pour rayon ${\displaystyle 2\pi /\lambda }$.

La théorie de la diffraction montre qu'il y a diffraction, c'est-à-dire interférences constructives des faisceaux diffusés, à la condition que l'extrémité de ${\displaystyle {\vec {Q}}}$ corresponde à un point du réseau réciproque : c'est la condition de Laue. Graphiquement, les familles de plans atomiques qui diffractent dans les conditions de l'expérience correspondent donc aux points du réseau réciproque qui se trouvent sur la sphère d'Ewald.

Dans la limite des grandes longueurs d'onde, le rayon de la sphère d'Ewald devient trop petit : plus aucun point du réseau réciproque ne peut être intercepté. Ceci illustre le fait qu'il est nécessaire de travailler avec des longueurs d'onde de l'ordre de la distance interatomique pour obtenir une figure de diffraction.

La construction générale présentée ci-dessus ne s'applique pas directement à une expérience de diffraction telle qu'elles sont habituellement pratiquées. Les schémas du paragraphe précédent permettent de comprendre pourquoi : il y a dans le cas général très peu de points du réseau réciproque situés sur la sphère d'Ewald. Une expérience menée de la sorte, avec un cristal fixe et une longueur d'onde fixée, ne peut donner que très peu de signal de diffraction et donc très peu d'information sur le réseau cristallin.

Dans la pratique il est donc nécessaire de faire varier, si possible de façon continue, un des paramètres de l'expérience. On peut ainsi faire varier la longueur d'onde ou l'orientation du cristal. La construction d'Ewald doit alors être modifiée en conséquence.

Diffraction des électrons dans un MET

Cliché de diffraction d'un oxyde de tantale obtenu dans un MET. Dans cette configuration, la sphère d'Ewald est tellement grande qu'elle intercepte une large portion d'un plan du réseau réciproque.

Dans la limite des courtes longueurs d'onde, le rayon de la sphère d'Ewald devient très grand ; elle devient assimilable à un plan et peut intercepter simultanément toute une série de points alignés dans le réseau réciproque. C'est une situation fréquemment rencontrée dans le cas de la diffraction des électrons par un cristal dans un microscope électronique en transmission. L'image obtenue est alors une image très peu déformée du réseau réciproque.