Sous-représentation

En théorie des représentations, une sous-représentation d'une représentation ${\displaystyle (\pi ,V)}$ d'un groupe G est une représentation ${\displaystyle (\rho ,W)}$ telle que W est un sous-espace vectoriel de V stable par chaque endomorphisme ${\displaystyle \pi (g)}$ et ${\displaystyle \rho (g)}$ est l'endomorphisme induit ${\displaystyle \pi (g)_{W}}$ pour tout élément g de G.

Une représentation de dimension finie non nulle contient toujours une sous-représentation non nulle qui est irréductible, ce qui se démontre par récurrence sur la dimension. Ce fait est faux en général pour les représentations de dimension infinie.

Par exemple, si ${\displaystyle (\pi ,V)}$ est une représentation de G, elle admet la sous-représentation triviale (qui peut être de dimension nulle ou pas) :

${\displaystyle V^{G}=\{v\in V\mid \forall g\in G,\ \pi (g)v=v\}.}$

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