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Sous-groupe normal maximal

En théorie des groupes, on appelle sous-groupe normal maximal, ou encore sous-groupe distingué maximal, d'un groupe G tout élément maximal de l'ensemble des sous-groupes normaux propres de G, cet ensemble étant ordonné par inclusion[1]. (On entendra ici par « sous-groupe propre de G » un sous-groupe de G distinct de G.) Autrement dit, un sous-groupe normal maximal de G est un sous-groupe normal propre H de G tel qu'aucun sous-groupe normal de G ne soit strictement compris entre H et G.

Quelques propriétés
  • Si G désigne un groupe simple, le sous-groupe de G réduit à l'élément neutre est un sous-groupe normal maximal de G (et c'est le seul).
  • Un sous groupe normal H d'un groupe G est sous-groupe normal maximal de G si et seulement si le groupe quotient G/H est simple[2]. Les sous-groupes normaux maximaux jouent donc un rôle dans les suites de Jordan-Hölder
  • Un sous-groupe normal maximal d'un groupe G n'est pas forcément un sous-groupe maximal de G. Par exemple, 1 est sous-groupe normal maximal du groupe simple A5, mais n'en est pas sous-groupe maximal, car A5 contient évidemment des sous-groupes propres non réduits à l'élément neutre.
  • Si un sous-groupe maximal H d'un groupe G est normal, H est évidemment un sous-groupe normal maximal de G.
  • Si G est un groupe résoluble, tout sous-groupe normal maximal de G est sous-groupe maximal de G[3]. (Soit M un sous-groupe normal maximal de G. Alors G/M est à la fois simple et résoluble, donc est fini d'ordre premier. D'après la formule des indices, ceci entraîne que M est sous-groupe maximal de G.) D'après le point précédent, il en résulte que dans un groupe résoluble, les notions de sous-groupe normal maximal et de sous-groupe maximal normal coïncident.
  • Soit G un groupe nilpotent. Alors tout sous-groupe maximal de G est normal dans G[4] et est donc un sous-groupe normal maximal de G; réciproquement, si H est un sous-groupe normal maximal de G, alors, puisque tout groupe nilpotent est résoluble, H est un sous-groupe maximal de G d'après le point précédent. Donc, dans un groupe nilpotent, les notions de sous-groupe normal maximal, de sous-groupe maximal et de sous-groupe maximal normal coïncident.

Notes et références
  1. Définition conforme à J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, P.U.F., , p. 159.
  2. Calais 1984, p. 160.
  3. (en) J. S. Rose, A Course in Group Theory, Dover, (1re éd. 1978) (lire en ligne), p. 267.
  4. Voir par exemple (en) W. R. Scott, Group Theory, Dover, (1re éd. 1964) (lire en ligne), p. 143.
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