Schéma de Lax-Friedrichs

Considérons l'équation d'advection linéaire en dimension 1 d'espace et de temps, dont une solution u(x,t) doit vérifier : ${\displaystyle (1)\qquad u_{t}+au_{x}=0\,}$ sur le domaine ${\displaystyle b\leq x\leq c,\;0\leq t\leq d}$ avec la condition initiale ${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x)\,}$ et les conditions de bords ${\displaystyle u(b,t)=u_{b}(t)\,}$ ${\displaystyle u(c,t)=u_{c}(t).\,}$

La solution exacte de l'équation d'advection au temps ${\displaystyle t\geqslant 0}$ est ${\displaystyle (2)\qquad u(x,t)=u_{0}(x-at)}$

La méthode des différences finies consiste à chercher une solution discrète définie sur les points de coordonnées ${\displaystyle (x_{i},t^{n})=(b+i\,\Delta x,n\,\Delta t)\ {\text{ pour }}\ i=0,\ldots ,N,\,n=0,\ldots ,M,}$ avec ${\displaystyle N={\frac {c-b}{\Delta x}},\,M={\frac {d}{\Delta t}}}$

On recherche alors la solution discrète ${\displaystyle u_{i}^{n}\approx u(x_{i},t^{n})}$

Le schéma de Lax–Friedrichs appliqué à l'équation d'advection donne : ${\displaystyle (3)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-{\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n})}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2\,\Delta x}}=0.}$

On obtient alors de manière explicite l'inconnue u_iⁿ⁺¹ : ${\displaystyle (4)\qquad u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n})-a{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n})\,}$ ce qui constitue ainsi le schéma de Lax-Friedrichs, complété par la condition initiale et les conditions de bord : ${\displaystyle u_{i}^{0}=u_{0}(x_{i})}$ ${\displaystyle u_{0}^{n}=u_{b}(t^{n})}$ ${\displaystyle u_{N}^{n}=u_{c}(t^{n}).}$

Une propriété remarquable de ce schéma est qu'il découple les points « pairs » (i.e. u_iⁿ avec i pair) et « impairs » ce qui n'est pas « naturel » car les valeurs u_iⁿ et u_i+1ⁿ devraient a priori suivre des évolutions voisines (pour une solution u régulière)[1].

Un système hyperbolique de lois de conservation à une dimension d'espace est défini par ${\displaystyle u_{t}+(f(u))_{x}=0}$ où ${\displaystyle f}$ est appelé fonction de flux.

Dans le cas particulier où ${\displaystyle f(u)=au}$, on retrouve un problème linéaire scalaire. Dans le cas général, ${\displaystyle u}$ est un vecteur ayant ${\displaystyle m}$ composantes. La généralisation du schéma de Lax-Friedrichs aux systèmes non linéaires prend la forme[2] ${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n})-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i-1}^{n})).}$

Ce schéma conservatif est d'ordre 1 en espace et en temps, et donc assez diffusif. On peut en revanche l'utiliser pour construire des schémas d'ordre supérieur pour résoudre des systèmes d'équations aux dérivées partielles hyperbolique, de la même façon que la méthode d'Euler sert à construire les méthodes de type Runge-Kutta plus précises pour la résolution des équations différentielles ordinaires.

Ce schéma peut être écrit sous sa forme conservative : ${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left({\hat {f}}_{i+1/2}^{n}-{\hat {f}}_{i-1/2}^{n}\right),}$ où ${\displaystyle {\hat {f}}_{i-1/2}^{n}={\frac {1}{2}}\left(f_{i-1}+f_{i}\right)-{\frac {\Delta x}{2\Delta t}}\left(u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}\right).}$

En l'absence des termes ${\displaystyle u_{i}^{n}}$ et ${\displaystyle u_{i-1}^{n}}$ dans le flux discret, ${\displaystyle {\hat {f}}_{i-1/2}^{n}}$, on retrouve le schéma explicite centré instable [1].

Comparaison de solutions numériques de l'équation d'advection linéaire en dimension 1 d'espace et temps obtenues par les schémas de Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff, Leapfrog et Upwind. La courbe en noir représente la solution exacte.

Le schéma de Lax-Friedrichs est explicite et d' ordre 1 en espace et en temps. Pour cette raison, il n'est pas beaucoup utilisé en pratique mais il sert d'exemple pour illustrer l'étude de la stabilité de Von Neumann d'un schéma numérique.

Le schéma de Lax-Friedrichs est stable pourvu que la condition suivante soit satisfaite : ${\displaystyle \left|a{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\right|\leq 1.}$

En réarrangeant les termes de l'équation (3) on obtient [3] : ${\displaystyle (5)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2\Delta x}}={\frac {\Delta x^{2}}{2\Delta t}}{\frac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{\Delta x^{2}}}}$

Sous cette forme, le schéma ressemble à un schéma de discrétisation de l'équation d'avection-diffusion : ${\displaystyle u_{t}+au_{x}=\epsilon u_{xx}}$ avec ${\displaystyle \epsilon =\Delta x^{2}/2\Delta t}$, et illustre ainsi le caractère diffusif du schéma et le concept de viscosité artificielle.

Une analyse plus rigoureuse[4] consiste à injecter dans l'équation du schéma numérique les développements de Taylor de la fonction ${\displaystyle u}$ aux points utilisés par le schéma; on obtient alors l'erreur de troncature locale : ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {u_{i}^{n+1}-{\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n})}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2\,\Delta x}}=&\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)+{\frac {\Delta t}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-{\frac {\Delta x^{2}}{2\Delta t}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\ldots \\=&{\frac {\Delta t}{2}}\left(a^{2}-{\frac {\Delta x^{2}}{\Delta t^{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+O(\Delta t^{2}),\end{aligned}}}$ ce qui démontre au passage l'ordre 1 en temps et en espace (en ayant fixé ${\displaystyle \Delta x/\Delta t}$) et que le schéma de Lax-Friedrichs fournit une approximation de l'équation modifiée de type advection-diffusion ${\displaystyle u_{t}+au_{x}=\epsilon _{LF}u_{xx}}$ avec ${\displaystyle \epsilon _{LF}={\frac {a\Delta x}{2c}}(1-c^{2})}$ et ${\displaystyle c=a{\frac {\Delta t}{\Delta x}}}$.

Le caractère diffusif et dispersif de plusieurs schémas numériques (dont Lax-Friedrichs) est illustré sur la figure de droite.

• (en) Press, Teukolsky, Vetterling et Flannery., Numerical Recipes : The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, 2007, 3^e éd., 1235 p. (ISBN 978-0-521-88068-8, lire en ligne), « Section 10.1.2. Lax Method »

• Mécanique des fluides numérique