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Schéma d'axiomes

En logique mathématique, la notion de schéma d’axiomes généralise celle d'axiome.

DĂ©finition formelle

Un schéma d’axiomes est une formule exprimée dans le métalangage d'un système axiomatique, dans lequel une ou plusieurs métavariables apparaissent. Ces variables, qui sont des constructions métalinguistiques, représentent n'importe quel terme ou sous-formule du système logique, qui peut être (ou ne pas être) tenu de satisfaire certaines conditions. Souvent, de telles conditions exigent que certaines des variables soient libres, ou que certaines variables n'apparaissent pas dans la sous-formule ou le terme.

Axiomatisation finie

La quantitĂ© de sous-formules possibles ou terme qui peuvent donner leur valeur Ă  une mĂ©tavariable est infinie dĂ©nombrable, un schĂ©ma d’axiome reprĂ©sente par consĂ©quent en gĂ©nĂ©ral un ensemble infini dĂ©nombrable d'axiomes. Cet ensemble peut gĂ©nĂ©ralement ĂŞtre dĂ©fini de manière rĂ©cursive. Une thĂ©orie qui peut ĂŞtre axiomatisĂ©e sans schĂ©ma est dite finiment axiomatisable. Ces dernières sont considĂ©rĂ©es  mĂ©ta-mathematiquement plus Ă©lĂ©gantes, mĂŞme si elles sont moins pratiques pour un travail dĂ©ductif.

Exemples

Deux exemples très bien connus de schémas d’axiomes sont les suivants :

Il a été prouvé (d'abord par Richard Montague) que ces schémas ne peuvent pas être éliminés. L'arithmétique de Peano et de ZFC ne sont donc pas finiment axiomatisables. C'est également le cas pour bien d'autres axiomatiques des théories des mathématiques, de la philosophie, de la linguistique, etc.

Théories finiment axiomatisables

Tous les théorèmes de la ZFC sont également théorèmes de la théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel, mais cette dernière est, assez étonnamment, finiment axiomatisée. La théorie des Nouvelles Fondations peut également être axiomatisée finiment, mais seulement avec une certaine perte d’élégance.

Dans les logiques d’ordres supérieurs

Les métavariables de logique du premier ordre sont généralement trivialement éliminables en logique d’ordre supérieur, car une métavariable est souvent un espace destiné à toute propriété ou relation sur les éléments de la théorie. C'est le cas des schémas d'Induction et de Remplacement mentionnés ci-dessus. La logique d’ordre supérieur permet aux variables quantifiées d’avoir pour domaine l'ensemble des propriétés ou des relations.

Voir aussi

Notes et références

  • (en) « SchĂ©ma », sur Stanford Encyclopedia of Philosophy
  • Corcoran, J. 2006. Schemata: the Concept of Schema in the History of Logic. Bulletin of Symbolic Logic 12: 219-40.
  • Mendelson, Elliot, 1997. Introduction to Mathematical Logic, 4th ed. Chapman & Hall.
  • Potter, Michael, 2004. Set Theory and its Philosophy. Oxford Univ. Press.
  • (en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de l’article de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Axiom schema » (voir la liste des auteurs).
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