Résistance équivalente

Une démonstration de cette relation peut être faite à partir de considérations énergétiques : soit deux résistances : ${\displaystyle R_{1}\,}$ et ${\displaystyle R_{2}\,}$, en parallèle et alimentées par une source de tension. La puissance consommée par cet ensemble est égale à la somme des puissances consommées par chacune des résistances, soit :

${\displaystyle P={\frac {U^{2}}{R_{1}}}+{\frac {U^{2}}{R_{2}}}\,}$

avec ${\displaystyle U\,}$ la valeur efficace de la tension aux bornes de ces résistances.

La résistance équivalente doit consommer une puissance identique à cet ensemble, d'où :

${\displaystyle {\frac {U^{2}}{R_{\rm {eq}}}}={\frac {U^{2}}{R_{1}}}+{\frac {U^{2}}{R_{2}}}\,}$

En simplifiant, on retrouve la formule d'association de résistances en parallèle.

On considère l'association en série de deux résistances ${\displaystyle R_{1}\,}$et ${\displaystyle R_{2}\,}$avec leurs tensions respectives à leurs bornes valant ${\displaystyle U_{1}}$et ${\displaystyle U_{2}}$et le courant ${\displaystyle i}$y circulant :

Association en série de deux résistances parcourues par un courant i

Association en parallèle de deux résistances

La loi d'Ohm nous donne :

${\displaystyle U_{1}=R_{1}I}$ et ${\displaystyle U_{2}=R_{2}I}$f

La loi des mailles :

${\displaystyle U=U_{1}+U_{2}=(R_{1}+R_{2})I}$

La résistance équivalente vérifie ${\displaystyle U=R_{eq}I}$ d'où ${\displaystyle R_{eq}=R_{1}+R_{2}}$

On considère maintenant l'association en parallèle de deux résistances :

La loi d'Ohm nous donne :

${\displaystyle U=R_{1}I_{1}=R_{2}I_{2}=R_{eq}I}$

La loi des nœuds :

${\displaystyle I=I_{1}+I_{2}={\frac {U}{R_{1}}}+{\frac {U}{R_{2}}}={\frac {U}{R_{eq}}}}$ d'où ${\displaystyle {\frac {1}{R_{eq}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}$