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Q-analogue de l'identité de Vandermonde

En mathématiques, plus précisément en combinatoire, le q-analogue de l'identité de Vandermonde (ou formule de convolution) s'écrit, en utilisant la notation standard des coefficients q-binomiaux :

.

Les contributions non nulles à cette somme proviennent des valeurs de j pour lesquelles les coefficients q-binomiaux sont non nuls, c'est-à-dire .

Démonstration

La preuve habituelle de l'identité de Vandermonde simple consiste à développer le produit de deux manières différentes. À la suite de Stanley [1], on peut procéder de manière similaire ; d'après le q-analogue de la formule du binôme, on a :

.

Mais on peut aussi écrire :

,

soit :

En identifiant les termes en , et posant , on obtient :


ce qui donne le résultat annoncé en simplifiant l'exposant de q.


Références

  1. (en) Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, vol. 1, , p. 188
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « q-Vandermonde identity » (voir la liste des auteurs).
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