Q-analogue de l'identité de Vandermonde

En mathématiques, plus précisément en combinatoire, le q-analogue de l'identité de Vandermonde (ou formule de convolution) s'écrit, en utilisant la notation standard des coefficients q-binomiaux :

{\binom {m+n}{k}}_{\!\!q}=\sum _{i+j=k}{\binom {m}{i}}_{\!\!q}{\binom {n}{j}}_{\!\!q}q^{(m-i)j}=\sum _{j}{\binom {m}{k-j}}_{\!\!q}{\binom {n}{j}}_{\!\!q}q^{(m-k+j)j}

Les contributions non nulles à cette somme proviennent des valeurs de $j$ pour lesquelles les coefficients q-binomiaux sont non nuls, c'est-à-dire $\max(0,k-m)\leqslant j\leqslant \min(n,k)$ .

Démonstration

La preuve habituelle de l'identité de Vandermonde simple consiste à développer le produit $(1+X)^{m}(1+X)^{n}$ de deux manières différentes. À la suite de Stanley [1], on peut procéder de manière similaire ; d'après le q-analogue de la formule du binôme, on a :

\prod _{k=0}^{m+n-1}(1+q^{k}X)=\sum _{k=0}^{m+n}q^{\frac {k(k-1)}{2}}{m+n \choose k}_{q}X^{k}

Mais on peut aussi écrire :

\prod _{k=0}^{m+n-1}(1+q^{k}X)=\prod _{k=0}^{m-1}(1+q^{k}X)\prod _{k=0}^{n-1}(1+q^{k}(q^{m}X))

soit :

\prod _{k=0}^{m+n-1}(1+q^{k}X)=\left(\sum _{i}q^{\frac {i(i-1)}{2}}{\binom {m}{i}}_{\!\!q}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j}q^{mj+{\frac {j(j-1)}{2}}}{\binom {n}{j}}_{\!\!q}X^{j}\right).

En identifiant les termes en $X^{k}$ , et posant $i=k-j$ , on obtient :

$q^{\frac {k(k-1)}{2}}{\binom {m+n}{k}}_{q}=q^{\frac {(k-j)(k-j-1)}{2}}{\binom {m}{k-j}}_{q}q^{mj+{\frac {j(j-1)}{2}}}{\binom {n}{j}}_{\!\!q}$

ce qui donne le résultat annoncé en simplifiant l'exposant de $q$ .

Références

(en) Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, vol. 1, 2011, p. 188

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « q-Vandermonde identity » (voir la liste des auteurs).

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