Propriétés métriques des droites et des plans

Si la droite (D) d'équation ux + vy + h = 0 n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées y, donc si v n'est pas nul, alors elle possède une équation sous la forme

${\displaystyle y=ax+b}$

avec

${\displaystyle a=-{\frac {u}{v}},\,b=-{\frac {h}{v}}}$

La pente d'une droite est le réel a.

Si l'on appelle α l'angle entre l'axe des abscisses x et la droite (D), α peut se déduire par :

${\displaystyle a=\tan(\alpha )\Leftrightarrow \alpha =\arctan(a).}$

Le vecteur ${\displaystyle {\vec {d}}(-v,u)}$ est un vecteur directeur de (D), Le vecteur ${\displaystyle {\vec {d}}'(1,a)}$ est un autre vecteur directeur.

Soit ${\displaystyle M(x,y)}$ un point de la droite (D) dont une équation dans un repère orthonormal est donnée par :

${\displaystyle (1)\qquad ux+vy+h=0}$

et ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0})}$ un point spécifique de (D), on a :

${\displaystyle (2)\qquad ux_{0}+vy_{0}+h=0}$

En retranchant (2) à (1) on obtient :

${\displaystyle u(x-x_{0})+v(y-y_{0})=0}$

En notant ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}$, le vecteur de coordonnées (u, v), on exprime (1) comme suit :

${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {M_{0}M}}=0}$

La droite d'équation ux + vy + h = 0 est donc orthogonale au vecteur ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}$. Le vecteur ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}$ est appelé un vecteur normal à la droite (D).

Si la droite (D) n'est pas parallèle à l'axe y, elle peut être donnée par une équation de type :

${\displaystyle y=ax+b}$

Le vecteur ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}(-a,1)}$ est un vecteur normal à (D).

Soit un point ${\displaystyle M(x,y)}$ et un vecteur ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}(u,v)}$ non nul. Le point M appartient à la droite (D), passant par ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0})}$ et orthogonale à ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}$, si et seulement si :

${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {M_{0}M}}=0}$

La droite D, passant par ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0})}$ et orthogonale à ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}$, a donc pour équation :

${\displaystyle u(x-x_{0})+v(y-y_{0})=0\,}$

Soit H le point projeté de ${\displaystyle M(x,y)}$ sur D, qui est donc tel que ${\displaystyle {\overrightarrow {HM}}}$ est orthogonal à (D).

La droite perpendiculaire à D et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}(u,v)}$, on montre que la distance algébrique entre M et (D) est donnée par :

${\displaystyle d_{\mathrm {a} }(H,M)={\frac {ux+vy+h}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}$

En valeur absolue :

${\displaystyle \|{\overrightarrow {HM}}\|={\frac {|ux+vy+h|}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}$

Dans le repère ${\displaystyle (\mathrm {O} ,{\vec {i}},{\vec {j}})}$, notons ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$ un vecteur unitaire normal à la droite (D), orienté de O vers (D), la valeur φ représente alors l'angle${\displaystyle ({\vec {i}},{\vec {\mathrm {N} }})}$. On note d'autre part ${\displaystyle p}$ la distance entre l'origine O du repère et la droite D.

L'équation (1) s'écrit :

${\displaystyle x\cos \varphi +y\sin \varphi -p=0}$

Soit D et D' deux droites d'équations

${\displaystyle (D):ux+vy+h=0\,}$

${\displaystyle (D'):u'x+v'y+h'=0\,}$

L'angle formé par les deux droites est connu par sa tangente :

${\displaystyle \tan(D,D')=\tan({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N} '}})={\frac {uv'-u'v}{uu'+vv'}}}$

Soit les droites (D₁) et (D₂) d'équations cartésiennes respectives :

${\displaystyle u_{1}x+v_{1}y+h_{1}=0,\quad u_{2}x+v_{2}y+h_{2}=0\,}$

alors :

• si ${\displaystyle {\frac {u_{2}}{u_{1}}}={\frac {v_{2}}{v_{1}}}={\frac {h_{2}}{h_{1}}}}$ : les droites sont confondues ;
• si ${\displaystyle {\frac {u_{2}}{u_{1}}}={\frac {v_{2}}{v_{1}}}\neq {\frac {h_{2}}{h_{1}}}}$ : les droites sont strictement parallèles ;
• si ${\displaystyle {\frac {u_{2}}{u_{1}}}\neq {\frac {v_{2}}{v_{1}}}}$ : les droites sont sécantes et les coordonnées du point d'intersection sont une solution du système formé par (1) et (2).

Le faisceau est l'ensemble des droites d'équation :

${\displaystyle \alpha D_{1}+\beta D_{2}=0}$

En posant ${\displaystyle \lambda ={\frac {\beta }{\alpha }}}$ ;

${\displaystyle D_{1}+\lambda D_{2}=0}$.

On a alors trois cas :

• si D₁ et D₂ se coupent en un point unique A, le faisceau ${\displaystyle D_{1}+\lambda D_{2}=0}$ est l'ensemble des droites passant par A.
• si D₁ et D₂ sont strictement parallèles, le faisceau ${\displaystyle D_{1}+\lambda D_{2}=0}$ est l'ensemble des droites strictement parallèles à D₁.

Les droites d'équations :

${\displaystyle \mathrm {D} _{1}:u_{1}x+v_{1}y+h_{1}=0\,}$,

${\displaystyle \mathrm {D} _{2}:u_{2}x+v_{2}y+h_{2}=0\,}$, et

${\displaystyle \mathrm {D} _{3}:u_{3}x+v_{3}y+h_{3}=0\,}$

sont concourantes ou parallèles si :

${\displaystyle {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&h_{1}\\u_{2}&v_{2}&h_{2}\\u_{3}&v_{3}&h_{3}\end{vmatrix}}=0}$

Dans l'espace, on étudie la droite définie par l'intersection de deux plans d'équations :

${\displaystyle (P_{1}):u_{1}x+v_{1}y+w_{1}z+h_{1}=0\,}$

${\displaystyle (P_{2}):u_{2}x+v_{2}y+w_{2}z+h_{2}=0\,}$

Le plan (Q) perpendiculaire à (P₁) appartient au faisceau de plans ${\displaystyle P_{1}+\lambda P_{2}=0}$.

(Q) sera perpendiculaire à (P₁) pour ${\displaystyle \lambda ={\frac {-(u_{1}^{2}+v_{1}^{2}+w_{1}^{2})}{u_{1}u_{2}+v_{1}v_{2}+w_{1}w_{2}}}}$

Soient H₁, H_Q et H les projections orthogonales du point M respectivement sur (P₁), (Q) et (D), on en déduit ${\displaystyle MH^{2}=MH_{1}^{2}+MH_{Q}^{2}}$.

On calculera MH₁ et MH_Q comme détaillé plus bas.

La distance MH est donnée par

${\displaystyle MH={\frac {\|{\overrightarrow {MM_{0}}}\wedge {\vec {\mathrm {V} }}\|}{\|{\vec {\mathrm {V} }}\|}}}$

Le plan étant défini par l'équation ux + vy + wz + h = 0, les droites perpendiculaires au plan sont toutes les droites ayant comme vecteur directeur ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}(u,v,w)}$. Une droite D passant par le point ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ et perpendiculaire à ${\displaystyle (P):ux+vy+wz+h=0}$ a pour équations :

${\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{u}}={\frac {y-y_{0}}{v}}={\frac {z-z_{0}}{w}}}$

dans le cas où aucun des réels, u, v, w, n'est nul.

Si un seul des réels est nul, par exemple u= 0, le système devient :

${\displaystyle x=x_{0}\qquad {\frac {y-y_{0}}{v}}={\frac {z-z_{0}}{w}}}$

Si deux réels sont nuls, par exemple u=v=0, le système devient :

${\displaystyle x=x_{0}\qquad y=y_{0}}$

Soient la droite (D₀) passant par ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ et de direction le vecteur ${\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{0}(a_{0},b_{0},c_{0})}$ et (D₁) la droite passant par ${\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})}$ et de direction ${\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{1}(a_{1},b_{1},c_{1})}$

Si les vecteurs ${\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{0}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{1}}$ sont indépendants, le volume du solide construit sur ${\displaystyle {\overrightarrow {M_{0}M_{1}}},{\vec {\mathrm {V} }}_{0},{\vec {\mathrm {V} }}_{1}}$ est égal à |k|. Ce réel se calcule grâce au produit mixte :

${\displaystyle k=({\overrightarrow {M_{0}M_{1}}},{\vec {\mathrm {V} }}_{0},{\vec {\mathrm {V} }}_{1})}$

L'aire de la base du solide est donnée par

${\displaystyle \|{\vec {\mathrm {W} }}\|}$ tel que ${\displaystyle {\vec {\mathrm {W} }}={\vec {\mathrm {V} }}_{0}\wedge {\vec {\mathrm {V} }}_{1}}$

La distance entre les deux droites est alors égale à ${\displaystyle d={\frac {|k|}{\|{\vec {\mathrm {W} }}\|}}}$

Si les vecteurs sont colinéaires alors les deux droites sont parallèles et la distance qui les sépare correspond à la distance qui sépare le point M₁ de la droite D₀.

Soit ${\displaystyle M(x,y,z)}$ un point du plan (P) dont l'équation dans un repère orthonormé est donnée par :

${\displaystyle (1\mathrm {bis} )ux+vy+wz+h=0}$

Pour ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ un point spécifique de P on obtient :

${\displaystyle (2\mathrm {bis} )ux_{0}+vy_{0}+wz_{0}+h=0}$

En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient :

${\displaystyle u(x-x_{0})+v(y-y_{0})+w(z-z_{0})=0}$

En notant ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}$, le vecteur de coordonnées (u, v, w), on exprime (1bis) comme suit :

${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {M_{0}M}}=0}$

Le plan P d'équation ux + vy + wz + h = 0 est donc orthogonal au vecteur ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}(u,v,w)}$ et ce vecteur est appelé un vecteur normal au plan P.

Si le coefficient w n'est pas nul, alors le plan ne contient pas de droite parallèle à l'axe z et l'équation du plan peut s'écrire :

${\displaystyle z=ax+by+c}$

avec a = -u/w, b = -v/w et c = -h/w. Le vecteur de composantes (-a, -b, 1) est un vecteur normal au plan.

Soit un point ${\displaystyle M(x,y,z)}$ et un vecteur ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}(u,v,w)\,}$ non nul. Le point M appartient au plan P, passant par ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ et orthogonal à ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}$, si et seulement si :

${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {M_{0}M}}=0}$

Le plan P, passant par ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ et orthogonal à ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}$, a donc pour équation : :

${\displaystyle u(x-x_{0})+v(y-y_{0})+w(z-z_{0})=0\,}$

Soit H le projeté de ${\displaystyle M(x,y,z)}$ sur (P) avec ${\displaystyle {\overrightarrow {HM}}}$ orthogonal à (P).

La droite perpendiculaire à (P) et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}(u,v,w)}$, on montre que la distance algébrique entre M et (P) est donnée par :

${\displaystyle d_{\mathrm {a} }(H,M)={\frac {ux+vy+wz+h}{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}}}$

En valeur absolue :

${\displaystyle \|{\overrightarrow {HM}}\|={\frac {|ux+vy+wz+h|}{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}}}$

Soient (P) et (P') deux plans d'équations

${\displaystyle (P):ux+vy+wz+h=0\,}$

${\displaystyle (P'):u'x+v'y+w'z+h'=0.}$

L'angle géométrique (P, P') est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux ${\displaystyle ({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N} }}')}$

${\displaystyle \cos(P,P')=|\cos({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N} }}')|={\frac {|{\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\vec {\mathrm {N} }}'|}{\|{\vec {\mathrm {N} }}\|\|{\vec {\mathrm {N} }}'\|}}={\frac {|uu'+vv'+ww'|}{{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}\times {\sqrt {u'^{2}+v'^{2}+w'^{2}}}}}}$

${\displaystyle \sin(P,P')=|\sin({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N} }}')|={\frac {\|{\vec {\mathrm {N} }}\wedge {\vec {\mathrm {N} }}'\|}{\|{\vec {\mathrm {N} }}\|\|{\vec {\mathrm {N} }}'\|}}={\frac {\sqrt {(vw'-v'w)^{2}+(wu'-uw')^{2}+(uv'-vu')^{2}}}{{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}\times {\sqrt {u'^{2}+v'^{2}+w'^{2}}}}}}$

Du point de vue de l'application numérique, la forme avec le cosinus est plus précise lorsque l'angle est proche de π/2 + kπ, et la forme avec le sinus est plus précise lorsque l'angle est proche de 0 + kπ.

L'angle de plus grande pente est l'angle le plus grand formé entre un plan quelconque et le plan horizontal. De façon imagée on peut définir l'angle de plus grande pente comme l'angle formé entre la trajectoire (rectiligne) d'une bille circulant librement sur ce plan quelconque et le plan horizontal.

Étant donné l'équation d'un plan horizontal :

${\displaystyle (P'):u'x+v'y+h'=0\,}$

L'angle de plus grande pente est donné par :

${\displaystyle \cos(P,P')=|\cos({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N} }}')|={\frac {|uu'+vv'|}{{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}\times {\sqrt {u'^{2}+v'^{2}}}}}}$

Les plans (P) et (P') sont perpendiculaires si les vecteurs normaux ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {N} }}'}$ sont orthogonaux, ce qui implique

${\displaystyle uu'+vv'+ww'=0.}$

Soit les plans (P₁) et (P₂) d'équations cartésiennes respectives :

${\displaystyle u_{1}x+v_{1}y+w_{1}z+h_{1}=0\,}$

${\displaystyle u_{2}x+v_{2}y+w_{2}z+h_{2}=0\,}$

Alors :

• si ${\displaystyle {\frac {u_{2}}{u_{1}}}={\frac {v_{2}}{v_{1}}}={\frac {w_{2}}{w_{1}}}={\frac {h_{2}}{h_{1}}}}$ : les plans sont confondus ;
• si ${\displaystyle {\frac {u_{2}}{u_{1}}}={\frac {v_{2}}{v_{1}}}={\frac {w_{2}}{w_{1}}}\neq {\frac {h_{2}}{h_{1}}}}$ : les plans sont strictement parallèles ;

En dehors des cas précédents, les deux plans sont sécants. Leur droite commune a pour équation les équations des deux plans.

Le faisceau de plans défini par les plans P₁ et P₂ est l'ensemble des plans solution de l'équation :

${\displaystyle \alpha P_{1}+\beta P_{2}=0}$

En posant ${\displaystyle \lambda ={\frac {\beta }{\alpha }}}$ ;

${\displaystyle P_{1}+\lambda P_{2}=0}$ (avec la condition P₂ = 0 alors λ correspond à l'infini).

• si (P₁) et (P₂) se coupent en une droite (D, le faisceau ${\displaystyle P_{1}+\lambda P_{2}=0}$ est l'ensemble des plans passant par (D).
• si (P₁) et (P₂) sont strictement parallèles, le faisceau ${\displaystyle P_{1}+\lambda P_{2}=0}$ est l'ensemble des plans strictement parallèles à (P₁).

Soit les plans d'équation :

${\displaystyle (P_{1}):u_{1}x+v_{1}y+w_{1}z+h_{1}=0}$

${\displaystyle (P_{2}):u_{2}x+v_{2}y+w_{2}z+h_{2}=0}$

${\displaystyle (P_{3}):u_{3}x+v_{3}y+w_{3}z+h_{3}=0}$

S'il existe α, β, γ non tous nuls tels que :

${\displaystyle \alpha P_{1}+\beta P_{2}+\gamma P_{3}=0}$ pour tous x, y et z

Cette relation exprime que (P₁) et (P₂) sont les plans de base du faisceau contenant (P₃).

Soient un point ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ et deux vecteurs ${\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{1}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{2}}$ non colinéaires. Un point M(x, y, z) appartient au plan (P) passant par ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ et de directions ${\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{1}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{2}}$ si et seulement s'il existe deux réels λ et μ tels que ${\displaystyle {\overrightarrow {M_{0}M}}=\lambda {\vec {\mathrm {V} }}_{1}+\mu {\vec {\mathrm {V} }}_{2}}$. Cette égalité exprime que ${\displaystyle {\overrightarrow {M_{0}M}},{\vec {\mathrm {V} }}_{1},{\vec {\mathrm {V} }}_{2}}$ sont coplanaires.

Ce qui donne, en représentant le produit mixte de ces trois vecteurs sous la forme d'un déterminant :

${\displaystyle \det({\overrightarrow {M_{0}M}},{\vec {\mathrm {V} }}_{1}(a_{1},b_{1},c_{1}),{\vec {\mathrm {V} }}_{2}(a_{2},b_{2},c_{2}))=0}$

Son équation est :

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{0}&a_{1}&a_{2}\\y-y_{0}&b_{1}&b_{2}\\z-z_{0}&c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}=(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})(x-x_{0})+(c_{1}a_{2}-a_{1}c_{2})(y-y_{0})+(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})(z-z_{0})=0}$

que l'on peut écrire sous la forme ${\displaystyle ux+vy+wz+h=0}$

Soient deux points ${\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})}$ et un vecteur ${\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{1}(a,b,c)}$ non colinéaire à ${\displaystyle {\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}}$.

Le point M appartient au plan passant par ${\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})}$ et de direction ${\displaystyle {\vec {\mathrm {V} }}_{1}(a,b,c)}$ si et seulement si les trois vecteurs :${\displaystyle {\overrightarrow {M_{1}M}},{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}},{\vec {\mathrm {V} }}}$ sont coplanaires, donc :

${\displaystyle \det({\overrightarrow {M_{1}M}},{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}},{\vec {\mathrm {V} }})=0}$

Son équation est :

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&x_{2}-x_{1}&a\\y-y_{1}&y_{2}-y_{1}&b\\z-z_{1}&z_{2}-z_{1}&c\end{vmatrix}}=0}$

Soient ${\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),M_{3}(x_{3},y_{3},z_{3})}$, trois points non alignés.

Par analogie avec ce qui précède, l'équation du plan passant par ces trois points est :

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&x_{2}-x_{1}&x_{3}-x_{2}\\y-y_{1}&y_{2}-y_{1}&y_{3}-y_{2}\\z-z_{1}&z_{2}-z_{1}&z_{3}-z_{2}\end{vmatrix}}=0}$