Propriété de prolongement des homotopies

Soit ${\displaystyle X\,\!}$ un espace topologique, et soit ${\displaystyle A\subset X}$. On dit que le couple ${\displaystyle (X,A)\,\!}$ a la propriété de prolongement des homotopies si, étant donné une homotopie ${\displaystyle f_{t}\colon A\rightarrow Y}$ et une application ${\displaystyle F_{0}\colon X\rightarrow Y}$ tel que ${\displaystyle \left.F_{0}\right|_{A}=f_{0}}$, il existe un prolongement de ${\displaystyle f_{t}}$ à une homotopie ${\displaystyle F_{t}\colon X\rightarrow Y}$ tel que ${\displaystyle \left.F_{t}\right|_{A}=f_{t}}$[1].

De manière équivalente, la paire ${\displaystyle (X,A)\,\!}$ a la propriété de prolongement des homotopies si une application ${\displaystyle G\colon ((X\times \{0\})\cup (A\times I))\rightarrow Y}$ peut être prolongé en une application ${\displaystyle G'\colon X\times I\rightarrow Y}$.

Si la paire a cette propriété uniquement pour un certain codomaine ${\displaystyle Y\,\!}$, on dit que ${\displaystyle (X,A)\,\!}$ possède la propriété de prolongement des homotopies relativement à ${\displaystyle Y\,\!}$.

La propriété de prolongement des homotopies est représentée dans le diagramme suivant

Si le diagramme ci-dessus (sans la carte en pointillés) commute (ceci est équivalent aux conditions ci-dessus), alors la paire (X, A) a la propriété de prolongement des homotopies s'il existe une carte ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ce qui fait commuter le diagramme. Par curryfication, notez qu'une application ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to Y^{I}}$ est la même chose qu'une application${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\times I\to Y}$.

Notons que ce diagramme est dual celui de la propriété de relèvement des homotopies.

• Si ${\displaystyle X\,\!}$ est un CW-complexe et ${\displaystyle A\,\!}$ est un sous-CW-complexe de ${\displaystyle X\,\!}$, alors la paire ${\displaystyle (X,A)\,\!}$ possède la propriété de prolongement des homotopies.
• Une paire ${\displaystyle (X,A)\,\!}$ possède la propriété de prolongement des homotopies si et seulement si ${\displaystyle (X\times \{0\}\cup A\times I)}$ est une rétractation de ${\displaystyle X\times I.}$

Si ${\displaystyle (X,A)}$ a la propriété de prolongement des homotopies, alors l'inclusion ${\displaystyle i\colon A\to X}$ est une cofibration.

• Propriété de relèvement des homotopies

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Homotopy extension property » (voir la liste des auteurs).

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002 (ISBN 0-521-79540-0, lire en ligne)
• (en) « Homotopy extension property », sur PlanetMath