Profil NACA

Courbe d'une aile NACA 0015, produite à partir de la formule

La demi-épaisseur d'un profil NACA 00xx est calculée avec l'équation suivante[5] - [6] :

${\displaystyle y_{t}={\frac {t}{0{,}2}}\,\left[0{,}2969{\sqrt {\frac {x}{c}}}-0{,}1260\left({\frac {x}{c}}\right)-0{,}3516\left({\frac {x}{c}}\right)^{2}+0{,}2843\left({\frac {x}{c}}\right)^{3}-0{,}1015\left({\frac {x}{c}}\right)^{4}\right]}$

Avec :

• c est la longueur de la corde de profil (en mètres, par ex.)
• x est la position le long de la corde (en mètres, si c est en mètres). x varie donc de 0 à c
• ${\displaystyle y_{t}}$ est la moitié de l'épaisseur du profil, en fraction de corde, pour une valeur donnée de x
• t est l'épaisseur maximale en fraction de la corde (0,15 par exemple pour le NACA 0015) (il faut remarquer que t multiplié par 100 donne les deux derniers chiffres du libellé des profils NACA 4 chiffres).

À noter que dans cette équation, au (x / c) = 1 (le bord de fuite du profil), l'épaisseur n'est pas exactement zéro. Si un bord de fuite d'épaisseur zéro est nécessaire, par exemple pour du calcul informatique, l'un des coefficients doit être modifié de telle sorte que leur somme soit égale à zéro. La modification du dernier coefficient (-0,1036) se traduira par le plus petit changement de la forme globale de la surface portante. Le bord d'attaque est à peu près équivalent à un cylindre de rayon :

${\displaystyle r=1{,}1019t^{2}c.\,}$

Comme le profil est symétrique, la forme externe du profil est déduite directement de l'épaisseur du profil ${\displaystyle y_{t}}$ :

${\displaystyle x_{U}=x_{L}=x,\qquad y_{U}=+y_{t},\quad {\text{et}}\quad y_{L}=-y_{t}.}$

Avec :

• ${\displaystyle (x_{U},y_{U})}$ coordonnées de l'extrados
• ${\displaystyle (x_{L},y_{L})}$ coordonnées de l'intrados

Courbe d'une aile NACA 2412. La ligne de cambrure est indiquée en rouge, et l'épaisseur - ou le profil symétrique 0012 - est représentée en violet.

Les profils NACA asymétriques les plus simples sont les séries 4 chiffres, qui utilisent la même formule que les profils 00xx, symétriques, mais avec une ligne moyenne courbée. La cambrure moyenne du profil est définie en deux sections[5]:

${\displaystyle y_{c}=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {m\,{\frac {x}{p^{2}}}\left(2\,p\,-{\frac {x}{c}}\right)},&0\leq x<pc\\\\\displaystyle {m\,{\frac {c-x}{(1-p)^{2}}}\left(1+{\frac {x}{c}}-2\,p\right)},&pc\leq x\leq c\end{array}}\right.}$

Avec :

• m est égal à la cambrure maximale (définit par le premier des quatre chiffres)
• p est la position de la cambrure maximale (définit par le deuxième chiffre)

Pour la forme de l'extrados et de l'intrados, l'épaisseur doit être appliquée perpendiculairement à la ligne de cambrure, les coordonnées ${\displaystyle (x_{U},y_{U})}$ et ${\displaystyle (x_{L},y_{L})}$, sont calculées avec les équations suivantes[6] :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{U}&=x-y_{t}\,\sin \theta \qquad &y_{U}&=y_{c}+y_{t}\,\cos \theta \\x_{L}&=x+y_{t}\,\sin \theta &y_{L}&=y_{c}-y_{t}\,\cos \theta \end{aligned}}}$

Où :

${\displaystyle \theta =\arctan {\left({\frac {dy_{c}}{dx}}\right)}}$

${\displaystyle {\frac {dy_{c}}{dx}}=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {{\frac {2m}{p^{2}}}\left(p-{\frac {x}{c}}\right)},&0\leq x<pc\\\\\displaystyle {{\frac {2m}{(1-p)^{2}}}\left(p-{\frac {x}{c}}\right)},&pc\leq x\leq c\end{array}}\right.}$

Nota : pour ${\displaystyle \theta =0}$ on retrouve les équations du profil symétrique.

Comme pour les profils à 4 chiffres, la cambrure est définie en deux sections, mais contrairement à ces derniers, la transition entre les deux sections ne se fait pas au point de cambrure maximum mais à ${\displaystyle m}$ définie en pourcentage de la corde[8]. La constante ${\displaystyle m}$ est choisie de telle sorte que la cambrure maximale se trouve à ${\displaystyle x=p}$ , par exemple, pour une cambrure de 230, ${\displaystyle p=0{,}3/2=0{,}15}$ et ${\displaystyle m=0{,}2025}$ . Enfin, la constante ${\displaystyle k_{1}}$ est déterminée pour donner le coefficient de portance souhaité. Pour un profil de cambrure 230 (les 3 premiers numéros de la série à 5 chiffres), ${\displaystyle k_{1}=15{,}957}$ est utilisé.

L'emplacement sur la corde ${\displaystyle x}$ et l'ordonnée ${\displaystyle y}$ ont été normalisées par rapport à la corde.

La cambrure moyenne est définie par les équations suivantes :

${\displaystyle y_{c}={\begin{cases}{\frac {k_{1}}{6}}\left\{x^{3}-3mx^{2}+m^{2}(3-m)x\right\},&0\leq x<m\\{\frac {k_{1}m^{3}}{6}}(1-x),&m\leq x\leq 1\end{cases}}}$

Le tableau suivant présente différents coefficients pour des profils de la ligne de cambrure:

Ligne de cambrure du profil	${\displaystyle p}$	${\displaystyle m}$	${\displaystyle k_{1}}$
210	0,05	0,0580	361,40
220	0,10	0,126	51,640
230	0,15	0,2025	15,957
240	0,20	0.290	6.643
250	0.25	0,391	3.230

Ces profils présentent un moment de tangage théorique de 0, ils sont dits auto-stables[9].

La cambrure moyenne est définie par les équations suivantes [10] :

Pour ${\displaystyle 0\leq x<m}$

${\displaystyle y_{c}={\frac {k_{1}}{6}}\left[\left(x-m\right)^{3}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}(1-m)^{3}x-m^{3}x+m^{3}\right]}$

Pour ${\displaystyle m\leq x\leq 1}$

${\displaystyle y_{c}={\frac {k_{1}}{6}}\left[{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\left(x-m\right)^{3}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}(1-m)^{3}x-m^{3}x+m^{3}\right]}$

Le tableau suivant présente différents coefficients de lignes de cambrure:

Ligne de cambrure du profil	${\displaystyle p}$	${\displaystyle m}$	${\displaystyle k_{1}}$	${\displaystyle k_{2}/k_{1}}$
221	0,10	0.130	51,990	0.000764
231	0,15	0,217	15,793	0,00677
241	0,20	0,318	6.520	0,0303
251	0.25	0.441	3.191	0,1355

Le profil des extrados et intrados se calcule comme pour la série à 4 chiffres, en calculant ${\displaystyle {\frac {dy_{c}}{dx}}}$ puis ${\displaystyle \theta =\arctan {\left({\frac {dy_{c}}{dx}}\right)},}$ permettant de calculer ${\displaystyle (x_{U},y_{U})}$ les coordonnées de l'extrados et ${\displaystyle (x_{L},y_{L})}$ les coordonnées de l'intrados[10].

• Profil (aéronautique)
• National Advisory Committee for Aeronautics

• Générateur de profil aérodynamique NACA
• (en) « UIUC Airfoil Data Site », site du département ingénierie aérospatiale de l'université de l'Illinois regroupant de nombreux outils de calcul et bases de données de profils.
• aerospaceweb.org NACA Airfoil série