Problème de Souslin

Étant donné un ensemble non vide S totalement ordonné tel que :

1. S n'a pas de plus grand ni de plus petit élément ;
2. l'ordre sur S est dense (c'est-à-dire qu'entre deux éléments distincts de S il y en a toujours au moins un troisième) ;
3. toute partie non vide majorée admet une borne supérieure, et toute partie non vide minorée admet une borne inférieure ;
4. toute famille d'intervalles ouverts non vides de S deux à deux disjoints est dénombrable (c'est la condition de chaîne dénombrable),

existe-t-il nécessairement un isomorphisme pour l'ordre entre S et la droite réelle ? La réponse par l'affirmative constitue ce qui est connu comme l'hypothèse de Souslin.

Tout ensemble non vide totalement ordonné qui satisfait les conditions 1 à 4 et qui n'est pas isomorphe pour l'ordre à R est une droite de Souslin. L'hypothèse de Souslin est donc qu'il n'existe pas de droite de Souslin.

Il a été démontré que cette hypothèse est indépendante des axiomes ZFC de la théorie des ensembles[2].

Les droites de Souslin existent si l'axiome de constructibilité V = L est ajouté à la théorie.

• Axiome de Martin

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Suslin's problem » (voir la liste des auteurs).