Problème de Héron
En géométrie, le problème de Héron est un problème d'optimisation qui consiste à trouver le plus court chemin entre deux points après un contact avec une droite. Il est nommé d'après Héron d'Alexandrie.
Énoncé du problème
Le problème de Héron est un problème connu : avec une droite (d) et deux points A et B ne se trouvant pas sur (d), placer un point M sur (d) tel que AM + MB soit minimale.
Ce problème peut se résoudre avec les outils de l'optimisation, cependant un raisonnement purement géométrique donne un résultat plus simple et plus lisible : pour trouver le point solution M, il suffit de construire le symétrique A' de A par rapport à (d), puis de marquer M comme l'intersection de A'B et (d). En effet, par le principe de Fermat, le chemin le plus court dans le plan euclidien étant la ligne droite, on trace ainsi la ligne brisée la plus courte[1].
Extensions
Problème dans le triangle
Le problème de Fermat : pour un triangle ABC, trouver le point M tel que AM+BM+CM soit minimale.
Il apparait que le point solution existe si aucun angle du triangle ABC n'excède 120° et c'est alors le point de Fermat-Steiner-Torricelli du triangle ; si un des angles est supérieur à 120°, le point recherché est le sommet de cet angle.
Extension dans l'espace : le problème de Gergonne
Le problème de Gergonne s'énoncé ainsi : pour un plan (P) et trois points A, B, C non alignés et non situés sur (P), trouver le point M sur (P) tel que AM+BM+CM soit minimale[2].
Références
- François Rouvière, « Histoires de maxima et minima », Séminaire "Enseignement des Mathématiques", (lire en ligne).
- (en) Nikolaos Dergiades, « The Gergonne problem », Forum Geometricorum, vol. 1, , p. 75–79 (ISSN 1534-1178, lire en ligne)