Problème de Fagnano

Le problème de Fagnano, encore appelé « problème du triangle de Schwarz », est un célèbre problème de géométrie euclidienne résolu par le mathématicien italien Giulio Fagnano (1682-1766) et son fils Giovanni Fagnano (en) (1715-1797)[1] :

Peut-on inscrire un triangle de périmètre minimal dans un triangle acutangle donné ?

Énoncé

Théorème — Soit $Δ ABC$ un triangle acutangle donné. Il existe un unique triangle $Δ MNP$ de périmètre minimal, inscrit dans $Δ ABC$ . Ce triangle a pour sommets les pieds des hauteurs issues de $Δ ABC$ . Le triangle $Δ MNP$ est appelé le triangle orthique.

Démonstration

Soit $Δ ABC$ le triangle donné. On cherche les points M, N et P sur les côtés [BC], [AC] et [AB] respectivement, de sorte que le périmètre de $Δ MNP$ soit minimal.

On considère dans un premier temps une version plus simple du problème. On fixe un point P arbitraire sur (AB), afin de déterminer les points M et N sur (BC) et (AC) respectivement, tels que $Δ MNP$ soit de périmètre minimal (ce minimum dépendra du choix de P). Soit $P 1$ l'image de P par la réflexion d'axe (BC) et $P 2$ d'axe (AC). Alors $CP 1 = CP 2$ , ${\widehat {P_{1}CB}}={\widehat {PCB}}$ et ${\widehat {P_{2}CA}}={\widehat {PCA}}$ . En posant $\gamma ={\widehat {BCA}}$ , on en déduit ${\widehat {P_{1}CP_{2}}}=2\gamma$ . De plus, $2 γ < 180°$ , puisque $γ < 90°$ , par définition. Par conséquent, la droite $(P 1 P 2)$ coupe les côtés [BC] et [AC] de $Δ ABC$ aux points M et N respectivement et le périmètre de $Δ MNP$ est égal à la distance $P 1 P 2$ . D'une manière analogue, si Z est un point quelconque sur [BC] et Y un point quelconque sur [AC], le périmètre de $Δ ZPY$ est égal à la longueur de la ligne brisée $P 1 ZYP 2$ , qui est supérieure ou égale à $P 1 P 2$ . Ainsi, le périmètre de $Δ ZPY$ est supérieur ou égal au périmètre de $Δ PMN$ et l'égalité a lieu précisément lorsque Z = M et Y = N.

Ainsi, il faut trouver un point P de [AB] de sorte que $[P 1 P 2]$ soit de longueur minimale. On remarque que ce segment est la base d'un triangle isocèle $P 2 P 1 C$ avec comme angle constant $2 γ$ au point C et comme côtés $CP 1 = CP 2 = CP$ . Ainsi, il faut choisir P sur [AB] de sorte que $CP 1 = CP$ soit minimal. Il est évident que ce minimum est obtenu lorsque P est le pied de la hauteur issue de C.

Remarquons maintenant que si P est le pied de la hauteur issue de C, alors M et N sont les pieds des deux autres hauteurs de $Δ ABC$ . Pour prouver cette assertion, notons $M 1$ et $N 1$ les pieds des hauteurs de $Δ ABC$ passant par A et B respectivement. Alors

{\widehat {BM_{1}P_{1}}}={\widehat {BM_{1}P}}={\widehat {BAC}}={\widehat {CM_{1}N_{1}}},

ce qui montre que le point $P 1$ appartient à la droite $(M 1 N 1)$ . D'une manière analogue, $P 2$ appartient à la droite $(M 1 N 1)$ et donc $M = M 1$ et $N = N 1$ .

En conclusion, de tous les triangles inscrits à $Δ ABC$ , celui de périmètre minimal est celui dont les sommets sont les pieds des hauteurs issues de $Δ ABC$ .

Cas du triangle obtusangle

Lorsque $Δ ABC$ est obtusangle, le triangle MNP est tel que M, N et C sont confondus, et P le pied de la hauteur issue de C. Dans ce cas, on dit que $Δ MNP$ est dégénéré.

Notes et références

(en) Paul J. Nahin, When Least Is Best, PUP, 2011 (lire en ligne), p. 65.

(en) Hans Rademacher et Otto Toeplitz, The Enjoyment of Math, PUP, 1994 (lire en ligne), p. 30
(en) Nguyen Minh Ha, « Another Proof of Fagnano’s Inequality », Forum Geometricorum, vol. 4,‎ 2004, p. 199–201 (ISSN 1534-1178, lire en ligne)

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