Problème d'urne

Lorsque l'on effectue des tirages successifs sans remise de boules dans une urne, le nombre de résultats possibles est donné par une formule mathématique appelée arrangement. Dans ce cas, les résultats obtenus dépendent de l'ordre des boules tirées et chaque boule ne peut être tirée qu'une fois. Le résultat est parfois appelé un mot sans répétition dans l'alphabet ${\displaystyle 1,2,\dots ,n}$. Plus mathématiquement, si l'on tire ${\displaystyle k}$ boules successivement sans remise dans une urne contenant ${\displaystyle n}$ boules, il y a :

${\displaystyle A_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}=n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}$ résultats possibles.

Lorsque l'on effectue des tirages successifs avec remise de boules dans une urne, le nombre de résultats possibles est donné par une formule de puissance. Dans ce cas, les résultats obtenus dépendent de l'ordre des boules tirées, cependant il peut y avoir des répétitions. Comme précédemment, le résultat est appelé un mot avec répétition dans l'alphabet ${\displaystyle 1,2,\dots ,n}$. Plus mathématiquement, si l'on tire ${\displaystyle k}$ boules successivement avec remise dans une urne contenant ${\displaystyle n}$ boules, il y a :

${\displaystyle n^{k}}$ résultats possibles.

Par exemple, quel est le nombre de mots de deux lettres formés à partir de l'alphabet constitué des lettres A,B et C et avec possibilité de répétition des lettres ? Cette situation se représente par deux tirages successifs avec remise de boules labellisées A, B et C. Le nombre de mots possibles est alors : ${\displaystyle 3^{2}=9}$ donnés par :

${\displaystyle AA,AB,AC,BB,BA,BC,CA,CB,CC}$

Lorsque l'on effectue des tirages simultanés de boules dans une urne, le nombre de résultats possibles est donné par une formule mathématique appelée combinaison. Dans ce cas, les résultats obtenus ne dépendent pas de l'ordre des boules tirées, uniquement les groupes de boules sont considérés. Plus mathématiquement, si l'on tire ${\displaystyle k}$ boules simultanément dans une urne contenant ${\displaystyle n}$ boules, il y a :

${\displaystyle {\binom {n}{k}}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!}}}$ résultats possibles.

Par exemple, supposons qu'un comité de trois personnes doit être élue parmi une assemblée de huit personnes[1]. La question est de savoir combien de comités différents peuvent être élus. Puisque l'ordre des personnes dans le comité n'importe pas, cette situation peut se représenter par le tirage simultané de trois boules dans une urne en contenant huit. Le nombre de comités possibles est alors : ${\displaystyle {\binom {8}{3}}=56}$ donnés par :

${\displaystyle (1,2,3),(1,2,4),\dots ,(1,2,8),(1,3,4),\dots ,(1,3,8),\dots ,(6,7,8)}$

• Yadolah Dodge, Statistique : dictionnaire encyclopédique, Paris/Berlin/New York etc., Springer - Verlag, 2004, 637 p. (ISBN 2-287-21325-2, lire en ligne)

• Problème du collectionneur de coupons