Potentiel de Yukawa

Partons de l’équation de Klein-Gordon[1]:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial (ict)^{2}}}=\left({\frac {2\pi m_{0}c}{h}}\right)^{2}\Psi }$

Si le second membre est nul, on obtient l'équation des ondes électromagnétiques :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial (ict)^{2}}}=0}$

Si, en plus, la fonction d'onde est indépendante du temps, on obtient l'équation du champ électrostatique, c'est-à-dire l'équation de Laplace :

${\displaystyle \Delta \Psi =0}$

Enfin, en symétrie sphérique fonction de la distance r à la charge ponctuelle, on obtient l'équation de Laplace du champ coulombien :

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\left(r^{2}{\frac {\mathrm {d} \Psi }{\mathrm {d} r}}\right)=0}$

Le potentiel de Yukawa a la symétrie sphérique et est statique mais garde le second membre. L'équation de Klein-Gordon devient :

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\left(r^{2}{\frac {\mathrm {d} \Psi }{\mathrm {d} r}}\right)=\left({\frac {2\pi m_{0}c}{h}}\right)^{2}\Psi }$

où ${\displaystyle m_{0}}$ serait la masse du méson ou pion. La solution physiquement acceptable de cette équation différentielle est le potentiel ${\displaystyle \Psi (r)}$ ou V(r) de Yukawa (la fonction d'onde se transforme en potentiel) :

${\displaystyle \Psi (r)=-g^{2}\;{\frac {e^{-\left({\frac {2\pi m_{0}c}{h}}\right)r}}{r}}=-g^{2}\;{\frac {e^{-{\frac {2\pi r}{\lambda _{C}}}}}{r}}}$

où ${\displaystyle \lambda _{C}}$ est la longueur d'onde de Compton. Le potentiel est négatif car il s'agit d'une force de liaison, l'interaction forte, le potentiel d'attraction entre deux nucléons à une distance r. Sa portée, de ${\displaystyle 10^{-15}m}$, rayon du proton, correspond à une masse ${\displaystyle m_{0}=140MeV}$, celle du méson dont l'existence a été prévue ainsi par Yukawa.

On peut faire un calcul approximatif[2]. Le principe d'incertitude d'Heisenberg peut s'écrire:

${\displaystyle \Delta E\times \Delta t\geq \hbar }$

Supposons que l'incertitude sur le temps soit égale au temps de l'interaction lui-même (on aura ainsi un ${\displaystyle \Delta E}$ minimal puisque ${\displaystyle \Delta t}$ sera maximal) et calculons ${\displaystyle \Delta E_{min}}$. On a:

${\displaystyle \Delta t={\frac {\mathrm {dimension~de~la~cible~(proton~de~rayon~1~fm} =10^{-15}\mathrm {m)} }{\mathrm {vitesse~du~projectile~(} c\mathrm {)} }}={\frac {R_{P}}{c}}}$

${\displaystyle \Delta E_{min}={\frac {\hbar }{\Delta {t_{max}}}}={\frac {\hbar c}{R_{p}}}={\frac {6,6.10^{-34}\times 3.10^{8}}{2\pi \times 10^{-15}}}=3,2.10^{-11}J=3,2.10^{-11}\times 6,24.10^{18}=200MeV}$ On trouve une valeur de l'ordre de grandeur attendu.

On obtient exactement le même résultat en utilisant la relation de de Broglie de l'onde de matière appliquée à la longueur d'onde de Compton du proton:

${\displaystyle m={\frac {h}{\lambda v}}={\frac {h}{\lambda _{P}c}}={\frac {\hbar }{R_{P}c}}}$

ce qui donne la même approximation de l'énergie du méson: ${\displaystyle mc^{2}={\frac {\hbar c}{R_{p}}}}$

La façon la plus simple de comprendre que le potentiel de Yukawa est associé à un champ massif consiste à examiner sa transformée de Fourier. On a

${\displaystyle V(r)={\frac {-g^{2}}{(2\pi )^{3}}}\int e^{i\mathbf {k\cdot r} }{\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}\;d^{3}k}$

où l'intégrale est calculée sur toutes les valeurs possibles du vecteur quantité de mouvement k. Sous cette forme, on peut voir la fraction ${\displaystyle 4\pi /(k^{2}+m^{2})}$ comme le propagateur ou fonction de Green de l'équation de Klein-Gordon.

Single particle exchange

Le potentiel de Yukawa peut être déduit comme amplitude de l'interaction d'une paire de fermions au premier ordre. L'interaction de Yukawa couple le champ fermionique ${\displaystyle \psi (x)}$ au champ mésonique ${\displaystyle \phi (x)}$ avec le terme de couplage

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }(x)=g{\overline {\psi }}(x)\phi (x)\psi (x)}$

L'amplitude de diffusion de deux fermions, l'un avec une quantité de mouvement initiale ${\displaystyle p_{1}}$ et l'autre avec une quantité de mouvement ${\displaystyle p_{2}}$, qui échangent un méson de moment k, est donnée par le diagramme de Feynman à droite.

Les règles de Feynman associent pour chaque sommet un facteur multiplicatif g à l'amplitude; ce diagramme ayant deux sommets, l'amplitude totale sera affectée d'un facteur multiplicatif ${\displaystyle g^{2}}$. La ligne médiane qui relie les deux lignes de fermions représente l'échange d'un méson. Selon la règle de Feynman, un échange de particules implique l'utilisation du propagateur; pour un méson massif, ce dernier est ${\displaystyle -4\pi /(k^{2}+m^{2})}$. Ainsi, l'amplitude de Feynman pour ce graphe est simplement

${\displaystyle V(\mathbf {k} )=-g^{2}{\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}}$

À partir de la section précédente, on voit clairement qu'il s'agit de la transformée de Fourier du potentiel de Yukawa.

• (en) Gerald Edward Brown and A. D. Jackson, The Nucleon-Nucleon Interaction, (1976) North-Holland Publishing, Amsterdam (ISBN 0-7204-0335-9)

Équation de Klein-Gordon