Pendule double

Le pendule est constitué de deux tiges de longueur ${\displaystyle l_{1}\,}$ et ${\displaystyle l_{2}\,}$, de masse nulle et deux masses ${\displaystyle m_{1}\,}$ et ${\displaystyle m_{2}\,}$.

L'énergie cinétique vaut :
${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}l_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}[l_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+l_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+2l_{1}l_{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})]}$
où ${\displaystyle \theta _{i}\,}$ est l'angle par rapport à la verticale et ${\displaystyle v_{i}\,}$ la vitesse du pendule ${\displaystyle i\,}$.
L'énergie potentielle vaut :
${\displaystyle V=m_{1}gz_{1}+m_{2}gz_{2}\,}$ (${\displaystyle z_{i}\,}$ étant l'altitude de la masse ${\displaystyle i\,}$), ou
${\displaystyle V=-(m_{1}+m_{2})gl_{1}\cos(\theta _{1})-m_{2}gl_{2}\cos(\theta _{2})\,}$.
Le lagrangien vaut donc :
${\displaystyle L=T-V\,}$, soit
${\displaystyle L={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})l_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}l_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+m_{2}l_{1}l_{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+m_{2})gl_{1}\cos(\theta _{1})+m_{2}gl_{2}\cos(\theta _{2})}$

En appliquant les équations de Lagrange, on obtient les équations du mouvement :

(1) ${\displaystyle (m_{1}+m_{2})l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+m_{2}l_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+m_{2})g\sin(\theta _{1})=0}$

Illustration de la sensibilité aux conditions initiales avec trois pendules doubles aux conditions de départ très proches.

(2) ${\displaystyle l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}-l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+g\sin(\theta _{2})=0}$

Ce système possède des solutions périodiques décomposables en deux modes, mais il est chaotique, c’est-à-dire qu'il possède aussi des solutions ni périodiques ni pseudo-périodiques, mais présentant en permanence un mouvement original, et qu'il est alors sensible aux conditions initiales.

Supposons qu'autour de l'équilibre, ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{1}=0={\dot {\theta }}_{2}}$. Pour des petites oscillations autour de la position d'équilibre, nous pouvons introduire les approximations de MacLaurin ${\displaystyle \sin \theta =\theta }$ et ${\displaystyle \cos \theta =1}$. Les équations du mouvement peuvent alors être réduites au système :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}(m_{1}+m_{2})l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}&&\;+\;&&m_{2}l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}&&\;+\;&&(m_{1}+m_{2})g\theta _{1}&&\;=\;&&0&\\l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}&&\;+\;&&l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}&&\;+\;&&g\theta _{2}&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}}$

Le double pendule peut alors être analysé en termes de modes normaux, en remarquant que le système ci-dessus peut être réduit à la forme matricielle ${\displaystyle M{\ddot {\vec {\theta }}}+K{\vec {\theta }}={\vec {0}}}$.

Par exemple, pour ${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$ et ${\displaystyle l_{1}=l_{2}=l}$, ce système s'écrit : ${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\ddot {\theta }}_{1}\\{\ddot {\theta }}_{2}\end{bmatrix}}={\frac {g}{l}}{\begin{bmatrix}-2&1\\2&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\theta _{1}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}}$

Les équations du mouvement peuvent également être trouvées en utilisant les complexes.

Représentons le double pendule ci-dessus dans le plan complexe de Gauss, en posant que l’axe des réels a même sens et même direction que la gravitation. Les points m₁ et m₂ représentant les mobiles 1 et 2 correspondent aux affixes z₁ et z₂. En fait, seuls les angles vont varier en fonction du temps puisque la masse et la longueur sont des constantes. Il faut donc chercher une manière de représenter les fonctions ${\displaystyle \theta _{1}}$ et ${\displaystyle \theta _{2}}$.

Dès lors, puisque le module de z₁ vaut l₁, son argument ${\displaystyle \theta _{1}}$, ${\displaystyle z_{1}=l_{1}(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})=l_{1}e^{i\theta _{1}}}$ . Ensuite, observons que z₂ est issu d’une translation de z₁ par le complexe z₀=${\displaystyle l_{2}e^{i\theta _{2}}}$ , c’est-à-dire un complexe tel que son module vaut l₂ et son argument ${\displaystyle \theta _{2}}$. En d’autres termes, z₂ = z₁ + z₀, donc ${\displaystyle z_{2}=l_{1}e^{i\theta _{1}}+l_{2}e^{i\theta _{2}}}$

Ici, les complexes z₁ et z₂ déterminent la position des mobiles1 et 2 en fonction du temps puisque ${\displaystyle \theta _{1}(t)}$ et ${\displaystyle \theta _{2}(t)}$ sont des fonctions du temps. L'accélération d'une masse mobile s'obtient en dérivant deux fois par rapport au temps la fonction définissant sa position. Ainsi, l’accélération de z₁ vaut

${\displaystyle a_{z_{1}}={\operatorname {d^{2}} \!z_{1} \over \operatorname {d} \!t^{2}}=l_{1}(i{\ddot {\theta }}_{1}-{\dot {\theta }}_{1}^{2})e^{i\theta _{1}}}$

et que celle de la deuxième est égale à

${\displaystyle a_{z_{2}}={\operatorname {d^{2}} \!z_{2} \over \operatorname {d} \!t^{2}}=l_{1}(i{\ddot {\theta }}_{1}-{\dot {\theta }}_{1}^{2})e^{i\theta _{1}}+l_{2}(i{\ddot {\theta }}_{2}-{\dot {\theta }}_{2}^{2})e^{i\theta _{2}}}$

Notons-les respectivement ${\displaystyle {\ddot {z}}_{1}}$et ${\displaystyle {\ddot {z}}_{2}}$.

Revenons dans la vie réelle. Quand une masse est suspendue à une corde, une tension se produit le long de celle-ci. Appelons, T₁ et T₂, les tensions exercées par les masses m₁ et m₂ et représentons-les sous forme de complexes t₁ et t₂.

Nous observons alors que t₁, z₁ et 0 sont alignés ou colinéaires, ce qui permet d’écrire que ${\displaystyle t_{1}=k_{1}z_{1}\,(k_{1}\in \mathbb {R} )}$. De même, t₂, z₀ et 0 sont alignés, ce qui permet d’affirmer que ${\displaystyle t_{2}=k_{2}z_{0}\,(k_{2}\in \mathbb {R} )}$.

La formule de la dynamique F = m a, connue aussi sous le nom de la 2^e loi de Newton, dit que la somme de toutes les forces appliquées à un mobile est égale au produit de l’accélération de celui-ci par sa masse.

Le mobile 2 est soumis à la tension T₂ et la force due à la gravité m₂ g, donnant les relations suivantes :

${\displaystyle F=ma_{z_{2}}=t_{2}+m_{2}g\Longleftrightarrow m_{2}{\ddot {z}}_{2}-m_{2}g=t_{2}\Longleftrightarrow {\ddot {z}}_{2}-g={\frac {t_{2}}{m_{2}}}={\frac {k_{2}z_{0}}{m_{2}}}\,\Rightarrow \,{\frac {{\ddot {z}}_{2}-g}{z_{0}}}={\frac {k_{2}}{m_{2}}}\,...(1)}$

Le mobile 1 est soumis à la tension T₁, à la force due à la gravité m₁g et à la tension T₂’ qui est issue du principe des actions réciproques (la 3^e loi de Newton) telle que T₂’= - T₂. Dès lors, nous pouvons dire que

${\displaystyle F=ma_{z_{1}}=t_{1}-t_{2}+m_{1}g\Longleftrightarrow t_{1}=t_{2}-m_{1}g+m_{1}{\ddot {z}}_{1}\Longleftrightarrow t_{1}=m_{2}{\ddot {z}}_{2}-m_{2}g-m_{1}g+m_{1}{\ddot {z}}_{1}}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow m_{2}{\ddot {z}}_{2}-m_{2}g-m_{1}g+m_{1}{\ddot {z}}_{1}=k_{1}z_{1}\Longleftrightarrow {\frac {m_{2}{\ddot {z}}_{2}-m_{2}g-m_{1}g+m_{1}{\ddot {z}}_{1}}{z_{1}}}=k_{1}\,...(2)}$

Les membres de droite des équations (1) et (2) étant réels, exprimons que la partie imaginaire des membres de gauche est nulle :

Tout d’abord, concernant l’équation (1).

Calculons le membre de gauche.

${\displaystyle {\frac {{\ddot {z}}_{2}-g}{z_{0}}}={\frac {l_{1}(i{\ddot {\theta }}_{1}-{\dot {\theta }}_{1}^{2})e^{i\theta _{1}}+l_{2}(i{\ddot {\theta }}_{2}-{\dot {\theta }}_{2}^{2})e^{i\theta _{2}}-g}{l_{2}e^{i\theta _{2}}}}}$

${\displaystyle ={\frac {l_{1}i{\ddot {\theta }}_{1}\cos \theta _{1}-l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos \theta _{1}-l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\sin \theta _{1}-l_{1}i{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin \theta _{1}+l_{2}i{\ddot {\theta }}_{2}\cos \theta _{2}-l_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos \theta _{2}-l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\sin \theta _{2}-l_{2}i{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin \theta _{2}-g}{l_{2}\cos \theta _{2}+l_{2}i\sin \theta _{2}}}}$

Appliquons le binôme conjugué pour supprimer le terme imaginaire au dénominateur, ce qui revient à multiplier la fraction par ${\displaystyle {\frac {\cos \theta _{2}-i\sin \theta _{2}}{\cos \theta _{2}-i\sin \theta _{2}}}}$.

Maintenant, seuls les imaginaires purs intéressent. C’est pourquoi, relevons uniquement les imaginaires purs issus du produit du numérateur par le conjugué du dénominateur. Nous conservons alors uniquement :

${\displaystyle (l_{1}i{\ddot {\theta }}_{1}\cos \theta _{1}-l_{1}i{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin \theta _{1}+l_{2}i{\ddot {\theta }}_{2}\cos \theta _{2}-l_{2}i{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin \theta _{2})(\cos \theta _{2})}$

${\displaystyle +(-l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos \theta _{1}-l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\sin \theta _{1}-l_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos \theta _{2}-l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\sin \theta _{2}-g)(-i\sin \theta _{2})}$

Ainsi, nous pouvons affirmer que : 

${\displaystyle {\text{Im}}({\frac {{\ddot {z}}_{2}-g}{z_{0}}})}$

${\displaystyle ={\frac {l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}+l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos ^{2}\theta _{2}-l_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos \theta _{2}\sin \theta _{2}}{l_{2}}}}$

${\displaystyle +{\frac {l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin \theta _{2}\cos \theta _{1}+l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}+l_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin \theta _{2}\cos \theta _{2}+l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\sin ^{2}\theta _{2}+g\sin \theta _{2}}{l_{2}}}}$

${\displaystyle ={\frac {l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}-l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+g\sin(\theta _{2})}{l_{2}}}}$

Comme il faut que la partie imaginaire soit nulle, nous obtenons cette première équation différentielle.

  ${\displaystyle l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}-l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+g\sin(\theta _{2})=0}$

Ensuite, concernant l’équation (2). Nous procédons de la même manière. Calculons le membre de gauche.

${\displaystyle {\frac {m_{2}{\ddot {z}}_{2}-m_{2}g-m_{1}g+m_{1}{\ddot {z}}_{1}}{z_{1}}}}$

${\displaystyle ={\frac {m_{2}[l_{1}(i{\ddot {\theta }}_{1}-{\dot {\theta }}_{1}^{2})(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})+l_{2}(i{\ddot {\theta }}_{2}-{\dot {\theta }}_{2}^{2})(\cos \theta _{2}+i\sin \theta _{2})]-m_{2}g-m_{1}g+m_{1}[l_{1}(i{\ddot {\theta }}_{1}-{\dot {\theta }}_{1}^{2})(\cos \theta _{1}+i\sin \theta _{1})]}{l_{1}\cos \theta _{1}+l_{1}i\sin \theta _{1}}}}$

${\displaystyle ={\frac {m_{1}[l_{1}i{\ddot {\theta }}_{1}\cos \theta _{1}-l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos \theta _{1}-l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\sin \theta _{1}-l_{1}i{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin \theta _{1}]-m_{1}g-m_{2}g}{l_{1}\cos \theta _{1}+l_{1}i\sin \theta _{1}}}}$

${\displaystyle +{\frac {m_{2}[l_{1}i{\ddot {\theta }}_{1}\cos \theta _{1}-l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos \theta _{1}-l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\sin \theta _{1}-l_{1}i{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin \theta _{1}+l_{2}i{\ddot {\theta }}_{2}\cos \theta _{2}-l_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos \theta _{2}-l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\sin \theta _{2}-l_{2}i{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin \theta _{2}]}{l_{1}\cos \theta _{1}+l_{1}i\sin \theta _{1}}}}$

Appliquons le binôme conjugué pour supprimer le terme imaginaire au dénominateur, ce qui revient à multiplier la fraction par${\displaystyle {\frac {\cos \theta _{1}-i\sin \theta _{1}}{\cos \theta _{1}-i\sin \theta _{1}}}}$.

Maintenant, seuls les imaginaires purs intéressent. C’est pourquoi, relevons uniquement les imaginaires purs issus du produit du numérateur par le conjugué du dénominateur. Nous gardons alors uniquement

${\displaystyle [m_{1}(l_{1}i{\ddot {\theta }}_{1}\cos \theta _{1}-l_{1}i{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin \theta _{1})+m_{2}(l_{1}i{\ddot {\theta }}_{1}\cos \theta _{1}-l_{1}i{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin \theta _{1}+l_{2}i{\ddot {\theta }}_{2}\cos \theta _{2}-l_{2}i{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin \theta _{2})][\cos \theta _{1}]}$

${\displaystyle +[m_{1}(-l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos \theta _{1}-l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\sin \theta _{1})+m_{2}(-l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos \theta _{1}-l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\sin \theta _{1}-l_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos \theta _{2}-l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\sin \theta _{2})-m_{1}g-m_{2}g][-i\sin \theta _{1}]}$

Ainsi, nous pouvons affirmer que

${\displaystyle {\text{Im}}({\frac {m_{2}{\ddot {z}}_{2}-m_{2}g-m_{1}g+m_{1}{\ddot {z}}_{1}}{z_{1}}})}$

${\displaystyle ={\frac {m_{1}l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\cos ^{2}\theta _{1}-m_{1}l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin \theta _{1}\cos \theta _{1}+m_{2}l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\cos ^{2}\theta _{1}-m_{2}l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin \theta _{1}\cos \theta _{1}+m_{2}l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}}{l_{1}}}}$

${\displaystyle +{\frac {-m_{2}l_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin \theta _{2}\cos \theta _{1}+m_{1}l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin \theta _{1}\cos \theta _{1}+m_{1}l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\sin ^{2}\theta _{1}+m_{2}l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin \theta _{1}\cos \theta _{1}+m_{2}l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\sin ^{2}\theta _{1}}{l_{1}}}}$

${\displaystyle +{\frac {m_{2}l_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}+m_{2}l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}+m_{1}\sin \theta _{1}g+m_{2}\sin \theta _{1}g}{l_{1}}}}$

${\displaystyle ={\frac {(m_{1}+m_{2})l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+m_{2}l_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+m_{2})g\sin(\theta _{1})}{l_{1}}}}$

Comme il faut que la partie imaginaire soit nulle, nous obtenons cette deuxième différentielle.

${\displaystyle (m_{1}+m_{2})l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+m_{2}l_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+m_{2})g\sin(\theta _{1})=0}$

Nous avons donc pour finir :

${\displaystyle {\begin{cases}l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}-l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+g\sin(\theta _{2})=0\\(m_{1}+m_{2})l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+m_{2}l_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+m_{2})g\sin(\theta _{1})=0\end{cases}}}$

Ce sont les mêmes équations que pour l'approche lagrangienne.