Pendule de Huygens

Huygens a imaginé une came d'équation : ${\displaystyle z_{p}={3 \over 2}(px^{2})^{1/3}\,}$, c'est-à-dire l'équation de la développée de la parabole.

On constate que si le point dépasse une certaine vitesse angulaire critique, donnée par : ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{p}}}}$

Il se retrouve soit en bas, soit en haut du dispositif. Le cas d'équilibre indifférent est atteint quand la vitesse angulaire de son déplacement est égale à cette vitesse critique.

On considère les énergies potentielles des forces en présence dans le référentiel tournant :

• l'énergie potentielle de pesanteur ${\displaystyle mgz\,}$, avec ${\displaystyle z=r^{2}/2p\,}$, soit ${\displaystyle E_{p}={\frac {mgr^{2}}{2p}}}$ ;
• l'énergie potentielle dont dérive la force d'entraînement (axifuge, ou « centrifuge ») : ${\displaystyle E_{e}=-m\omega ^{2}{\frac {r^{2}}{2}}}$.

Le mobile M se situe, à l'équilibre, au point où l'énergie totale ${\displaystyle E=E_{p}+E_{e}\,}$ atteint un extrémum, c'est-à-dire au point où sa dérivée s'annule : ${\displaystyle {\frac {dE}{dr}}=0\Leftrightarrow {\frac {mgr}{p}}-m\omega _{0}^{2}r=0\Leftrightarrow r=0}$

C'est-à-dire lorsque : ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{p}}}}$.

Lorsque ${\displaystyle r=0\,}$, M se trouve en bas de la parabole. Lorsque ${\displaystyle \omega =\omega _{0}\,}$ toute la parabole se trouve à l'équilibre, M reste immobile, là où il se trouvait lorsque la vitesse critique a été atteinte. Le cas où M se trouve en haut est un cas hors équilibre, dû aux contraintes physiques posées par la came.

On peut observer la parabole de Huygens avec un liquide :

• on emprisonne de l'eau colorée entre deux plans transparents verticaux et très proches, pour obtenir un film de liquide (qui ne remplit pas entièrement l'espace entre les deux plans) ;
• on met l'ensemble en rotation autour d'un axe vertical à la vitesse ${\displaystyle \omega _{0}\,}$ quelconque (fixée par l'expérimentateur).

On remarque alors que la surface du liquide se courbe, pour adopter la forme d'une parabole, d'équation identique à celle de la came de Huygens, avec le paramètre ${\displaystyle p\,}$ valant ${\displaystyle {\frac {g}{\omega _{0}^{2}}}}$.