P0-matrice

P0-matrice — On dit qu'une matrice carrée réelle ${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ est une P0-matrice si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

1. tous les mineurs principaux de ${\displaystyle M}$ sont positifs : pour tout ${\displaystyle I\subset \{1,\ldots ,n\}}$ non vide, ${\displaystyle \det M_{I,I}\geqslant 0}$,
2. pour tout vecteur ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ non nul, on peut trouver un indice ${\displaystyle i}$ tel que ${\displaystyle x_{i}\neq 0}$ et ${\displaystyle x_{i}(Mx)_{i}\geqslant 0}$,
3. pour tout ${\displaystyle I\subset \{1,\ldots ,n\}}$ non vide, les valeurs propres réelles de ${\displaystyle M_{I,I}}$ sont positives,
4. pour toute matrice diagonale définie positive ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle M+D}$ est inversible.

On note ${\displaystyle \mathbf {P_{0}} }$ l'ensemble des P0-matrices d'ordre quelconque. On appelle P0-matricité la propriété d'une matrice d'appartenir à ${\displaystyle \mathbf {P_{0}} }$.