P-matrice

On note

• ${\displaystyle [\![1,n]\!]:=\{1,\ldots ,n\}}$ l'ensemble des ${\displaystyle n}$ premiers entiers,
• ${\displaystyle u\cdot v}$ le produit de Hadamard de deux vecteurs ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$, qui est défini par ${\displaystyle (u\cdot v)_{i}=u_{i}v_{i},}$ pour tout indice ${\displaystyle i}$,
• ${\displaystyle M_{IJ}}$ la sous-matrice de ${\displaystyle M}$ formée de ses éléments avec indices de ligne dans ${\displaystyle I}$ et indices de colonne dans ${\displaystyle J}$.

La notion de P-matrice peut se définir de différentes manières, bien sûr équivalentes.

Le nom de ces matrices a été proposé par Fiedler et Pták (1966)[2]. L'équivalence entre les définitions 1 et 2 est due à Fiedler et Pták (1962)[3].

De la définition 1, on déduit que

• ${\displaystyle M\in \mathbf {P} }$ si, et seulement si, ${\displaystyle M^{\top \!}\in \mathbf {P} }$,
• si ${\displaystyle M}$ est symétrique, alors ${\displaystyle M\in \mathbf {P} }$ si, et seulement si, ${\displaystyle M}$ est définie positive,
• ${\displaystyle \mathbf {P} \cap \mathbb {R} ^{n\times n}}$ est un ouvert de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$.

De la définition 2, on déduit que

• si ${\displaystyle M+M^{\!\top \!}}$ est définie positive, alors ${\displaystyle M\in \mathbf {P} .}$

1. Une matrice de Cauchy ${\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ est une matrice réelle carrée dont l'élément ${\displaystyle (i,j)}$ est donné par

${\displaystyle \displaystyle C_{ij}={\frac {1}{a_{i}+b_{j}}},}$

où ${\displaystyle a_{i}+b_{j}\neq 0}$. Une matrice de Cauchy est une P-matrice si ${\displaystyle a_{1}+b_{1}>0}$ et si les suites ${\displaystyle \{a_{i}\}}$ et ${\displaystyle \{b_{j}\}}$ sont strictement croissantes[12]. En particulier, une matrice de Hilbert est une P-matrice (c'est une matrice de Cauchy avec ${\displaystyle a_{i}=b_{i}=i-1/2}$ pour tout ${\displaystyle i\in [\![1,n]\!]}$).

1. Considérons la matrice circulante ${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{n\times n},}$ ${\displaystyle n\geqslant 2,}$ définie par
   ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&&&\alpha \\\alpha &~~~\ddots ~~~&&\\&~~~\ddots ~~~&1&\\&&\alpha &1\end{pmatrix}}}$
   ou de manière plus précise par ${\displaystyle M_{ij}=1}$ si ${\displaystyle i=j}$, ${\displaystyle M_{ij}=\alpha }$ si ${\displaystyle i=(j\mod n)+1}$ et ${\displaystyle M_{ij}=0}$ sinon. Alors[13]
   • si ${\displaystyle n}$ est pair, alors ${\displaystyle M\in \mathbf {P} }$ si, et seulement si, ${\displaystyle |\alpha |<1}$,
   • si ${\displaystyle n}$ est impair, alors ${\displaystyle M\in \mathbf {P} }$ si, et seulement si, ${\displaystyle \alpha >-1}$.
2. Considérons la matrice circulante ${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{n\times n},}$ ${\displaystyle n\geqslant 3,}$ définie par
   ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&&&\beta ~~~&\alpha \\\alpha &~~~\ddots ~~~&&&\beta \\\beta &~~~\ddots ~~~&1~~~&\\&~~~\ddots ~~~&\alpha ~~~&1~~~\\&&\beta ~~~&\alpha ~~~&1\end{pmatrix}}}$
   ou de manière plus précise par
   ${\displaystyle M_{ij}=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{si}}~i=j\\\alpha &{\mbox{si}}~i=(j\mod n)+1\\\beta &{\mbox{si}}~i=((j+1)\mod n)+1\\0&{\mbox{sinon}}.\end{array}}\right.}$
   Alors[13] ${\displaystyle M\in \mathbf {P} }$ si ${\displaystyle |\alpha |-1<\beta <|\alpha |/4}$ ou si ${\displaystyle \alpha ^{2}+8(\beta -{\textstyle {\frac {1}{2}}})^{2}<2}$.