Orthant

En géométrie, un orthant est la généralisation dans un espace euclidien de dimension quelconque n du quadrant d'un plan ou de l'octant en dimension 3[1].

Un orthant en dimension n peut être considéré comme l'Intersection de n demi-espaces orthogonaux. Par permutation, il y a 2ⁿ orthants dans un espace de dimension n.

De façon spécifique, un orthant fermé dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ est le sous-ensemble défini par une contrainte de signe sur chaque coordonnée cartésienne. Ce sous-ensemble est défini par le système d'inéquations :

${\displaystyle \varepsilon _{1}x_{1}\geqslant 0,\ \varepsilon _{2}x_{2}\geqslant 0,\ \varepsilon _{n}x_{n}\geqslant 0}$

où chaque ε_i a pour valeur +1 ou −1. L'orthant positif (resp. négatif) est celui que l'on obtient en prenant tous les ε_i = 1 (resp. ε_i = -1); on le note souvent ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$ (resp. ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}^{n}}$).

Un orthant ouvert dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ est un sous-ensemble défini par le système d'inéquations strictes :

${\displaystyle \varepsilon _{1}x_{1}>0,\ \varepsilon _{2}x_{2}>0,\ \varepsilon _{n}x_{n}>0}$

où chaque ε_i a pour valeur +1 ou −1.

Par dimension:

1. En dimension 0, un orthant est un point
2. En dimension 1, un orthant est une demi-droite.
3. En dimension 2, un orthant est un quadrant.
4. En dimension 3, un orthant est un octant.

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