Opérateur de Hutchinson

Soit ${\displaystyle \{f_{i}:X\to X\ |\ 1\leq i\leq N\}}$ un ensemble de contractions d'un espace métrique complet ${\displaystyle X}$ dans lui-même. L'opérateur ${\displaystyle H}$ est défini sur des sous-ensembles compacts ${\displaystyle S\subset X}$ comme

${\displaystyle H(S)=\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(S).\,}$

itération d'un opérateur d'Hutchinson à partir d'un carré S₀.

Une question clé est de décrire les attracteurs ${\displaystyle A=H(A)}$ de cet opérateur, qui sont des ensembles compacts. Un moyen de génération d'un tel ensemble est de commencer avec un premier ensemble compact ${\displaystyle S_{0}\subset X}$ (qui peut être un point tout simplement) et d'itérer ${\displaystyle H}$ comme suit :

${\displaystyle S_{n+1}=H(S_{n})=\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(S_{n})}$

et en prenant la limite, l'itération converge vers l'attracteur

${\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }S_{n}.}$

Hutchinson a montré en 1981, l'existence et l'unicité de l'attracteur ${\displaystyle A}$.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hutchinson operator » (voir la liste des auteurs).