Onde de Bloch

Le théorème de Bloch donne les solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps pour un potentiel donné périodique.

Théorème de Bloch — Soit ${\displaystyle V(x)}$ un potentiel de périodicité ${\displaystyle x_{0}}$, c.-à-d. tel que ${\displaystyle V(x+x_{0})=V(x)}$

Alors, il existe une base de solution de l'équation de Schrödinger de la forme :

${\displaystyle \psi (x)=e^{ikx}\cdot u_{\vec {k}}(x)}$

où ${\displaystyle u_{\vec {k}}(x)}$ est une fonction de période ${\displaystyle x_{0}}$, c'est-à-dire ${\displaystyle u_{\vec {k}}(x+x_{0})=u_{\vec {k}}(x)}$ et l'indice ${\displaystyle {\vec {k}}}$ permet de différencier les différents états propres correspondants à une même énergie ${\displaystyle E_{k}}$

Ces fonctions d'onde sont appelées les fonctions d'ondes de Bloch.

Dans un cristal parfait infini, les potentiels possèdent la périodicité du réseau cristallin. Le théorème de Bloch permet d'obtenir les états propres d'énergie d'un électron dans ce réseau.

Si nous baptisons par ${\displaystyle |\Psi _{J}\rangle }$ les états propres du hamiltonien et ${\displaystyle |R_{n}\rangle }$ les états propres de chaque potentiel localisé au nœud ${\displaystyle R_{n}}$ du réseau, alors nous avons

${\displaystyle H|\Psi _{J}\rangle =E|\Psi _{J}\rangle }$.

Soit ${\displaystyle T_{R}}$ l'opérateur de translation de ${\displaystyle R}$. Si ${\displaystyle R}$ appartient au réseau, alors ${\displaystyle H}$ et ${\displaystyle T_{R}}$ commutent et ont donc les mêmes sous-espaces propres.

En utilisant la propriété d'invariance de la norme des états propres par translation d'une période entière du réseau cristallin et la propriété de combinaison des translations, on obtient les valeurs propres de ${\displaystyle T_{R}}$, pour ${\displaystyle R}$ fixé, sous la forme ${\displaystyle \Lambda _{R}=e^{ikR}\;}$.
On en déduit que la forme générale de la fonction d'onde dans le cas d'un cristal est :

${\displaystyle \langle r|\Psi _{k,n}\rangle =\Psi _{k,n}(r)=e^{ikr}u_{k,n}(r)}$

où ${\displaystyle u_{k,n}(r)}$ est périodique avec la période du réseau cristallin.

${\displaystyle \Psi _{k,n}(r)}$ est appelée l'onde de Bloch.

Le théorème de Bloch introduit un vecteur d'onde ${\displaystyle k}$. Il est nommé pseudo-moment de l'électron. Cette quantité remplace le moment ${\displaystyle P \over \hbar }$ de l'électron lorsqu'on passe du problème d'un électron se mouvant dans un milieu continu à celui d'un électron se mouvant dans un potentiel périodique. Ce pseudo-moment n'est pas proportionnel à ${\displaystyle P}$. En effet la dérivation ${\displaystyle {\hbar \over i}\nabla ~}$ introduit un terme supplémentaire ${\displaystyle e^{ikr}{\hbar \over i}\nabla u_{k,n}(r)}$. Ainsi ${\displaystyle \Psi _{k,n}}$ n'est pas un état propre de l'opérateur quantité de mouvement. D'une façon plus générale, la non-conservation de la quantité de mouvement et la non pertinence de cette grandeur dans le cadre d'un potentiel périodique d'étendue spatiale infinie peut sembler surprenante. Il faut se rapporter au théorème de Noether pour en comprendre l'origine. En effet le théorème de Noether fait découler directement la conservation de la quantité de mouvement de la symétrie de l'espace en regard des translations infinitésimales. Or le potentiel cristallin introduit une symétrie brisée (translations discrètes au regard des translations infinitésimales) et l'invariant associé n'a plus de raison d'être conservé.

Une conséquence du théorème de Bloch est l'apparition des bandes interdites par l'application d'un potentiel cristallin perturbatif (donc arbitrairement faible) sur des électrons libres : c'est le modèle des électrons quasi libres. Partons d'une fonction d'onde d'électron libre ${\displaystyle |k\rangle }$ et prenons le potentiel cristallin sous la forme :

${\displaystyle V(r)=\sum _{m\neq 0}V(K_{m})e^{iK_{m}r}}$

Constatons d'abord que la perturbation introduite par ce potentiel ne peut pas être dans le cas général une perturbation du premier ordre. En effet, tous les termes de ce potentiel sont oscillatoires et leur moyenne par toute fonction d'onde ${\displaystyle K}$ sur un domaine suffisamment grand est nulle, sauf si les termes oscillatoires se compensent. On montre facilement que la fonction d'onde prend la forme :

${\displaystyle |\Psi _{k}\rangle =|k\rangle +\sum _{m\neq 0}u(K_{m})|k+K_{m}\rangle }$

avec :

${\displaystyle u(K_{m})={\frac {2mV(K_{m})}{\hbar ^{2}}}[E(k)-(k+K_{m})^{2}]}$

Remarquons au passage que cette fonction d'onde est bien une onde de Bloch (il suffit de remplacer les kets par leurs formes fonctionnelles). En posant ${\displaystyle E(k)=k^{2}}$ et vu la nature périodique du potentiel perturbateur ${\displaystyle V}$, toutes ces contributions sont nulles à l'exception de celles remplissant les conditions de Bragg, ${\displaystyle (k+K_{p})^{2}=k^{2}}$ ce qui donne comme valeur de ${\displaystyle E}$ :

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\pm [V(K_{p})]}$

Donc pour un point ${\displaystyle k}$ à mi-distance de l'origine et d'un premier nœud du réseau réciproque, c’est-à-dire ${\displaystyle k=-K_{p}/2}$, la condition de Bragg est vérifiée et la valeur de ${\displaystyle E}$ modifiée. Ce point est évidemment sur la frontière de la première zone de Brillouin.

Au voisinage des points ${\displaystyle K_{p}/2}$, les formules données plus haut divergent, ce qui prouve que l'approche perturbative n'est pas appropriée. En fait la solution est une recombinaison de l'onde de vecteur ${\displaystyle K_{p}/2+\delta k}$ et de l'onde de vecteur ${\displaystyle -K_{p}/2+\delta k}$. Le couplage de ces deux niveaux provoque un éclatement de la bande d'énergies au voisinage des points ${\displaystyle K_{p}/2}$ et ${\displaystyle -K_{p}/2}$. Il en résulte l'ouverture autour des points d'énergie :

${\displaystyle E_{p}={\hbar ^{2} \over {2m_{e}}}\left({K_{p} \over 2}\right)^{2}}$

d'un intervalle d'énergie qui ne peut être atteint pour aucune valeur de ${\displaystyle k}$. En effet les énergies au voisinage de ${\displaystyle K_{p}/2}$ sont fortement éclatées et ne peuvent donc pas être solution de valeurs au voisinage immédiat de ${\displaystyle E_{p}}$. Quant aux valeurs plus distantes de ${\displaystyle k}$, la perturbation de l'énergie est trop faible pour la ramener à proximité de la valeur ${\displaystyle E_{p}}$.

• Fonction de Wannier
• Théorie des bandes
• Zone de Brillouin

• Charles Kittel (trad. Nathalie Bardou, Évelyne Kolb), Physique de l’état solide [« Solid state physics »], 1998 [détail des éditions]
• Neil W. Ashcroft et N. David Mermin, Physique des solides [détail des éditions]
• O. Madelung, Introduction to Solid State Physics, Springer, 1981. (ISBN 0-387-08516-5)
• J. Gazalet; S. Dupont; J.C. Kastelik; Q. Rolland & B. Djafari-Rouhani (2013). "A tutorial survey on waves propagating in periodic media: Electronic, photonic and phononic crystals. Perception of the Bloch theorem in both real and Fourier domains". Wave Motion. 50 (3): 619–654. doi:10.1016/j.wavemoti.2012.12.010.
• Blokhintsev, Mécanique quantique et applications à l'étude de la structure de la matière, Dunod, 1967. (ISBN 2225509204)
• Blokhintsev, Physique du solide