Nombre premier sûr

Un nombre premier sûr est un nombre premier de la forme 2p + 1, où p est lui-même un nombre premier (p est alors appelé un nombre premier de Sophie Germain).

Listes

Les nombres premiers sûrs sont : 5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, etc. (suite A005385 de l'OEIS).

Les plus petits sont classés dans les deux tableaux ci-dessous, ordonnés sous la forme S_i inscrite en gras sous leur occurrence dans la liste complète des nombres premiers p, et associés à leur nombre de Sophie Germain G_i inscrit dans la cellule immédiatement au-dessus.

Nombres premiers sûrs compris entre 0 et 127

À partir de 131, les nombres premiers ordinaires p intermédiaires ne sont plus indiqués.

décades d'entiers n	première décade	deuxième décade	troisième décade	quatrième décade	cinquième décade	sixième décade	septième décade	huitième décade	neuvième décade	dixième décade	onzième décade	douzième décade	treizième décade
entiers n =	00 à 09	10 à 19	20 à 29	30 à 39	40 à 49	50 à 59	60 à 69	70 à 79	80 à 89	90 à 99	100 à 109	110 à 119	120 à 127
premiers dont G_i et S_i	-[1]	11 G₄ et S₃	23 G₅ et S₄	31	41 G₇	53 G₈	61	71	83 G₉ et S₇	97	101	113 G₁₁	127
S	-[1]	S₄=23	S₅=47	-	S₇=83	S₈=107	-	-	S₉=167	-	-	S₁₁=227	-
premiers dont G_i et S_i	-[2]	13	29 G₆	37	43	59 S₆	67	73	89 G₁₀		103		(131) (G₁₂)
S	-[2]	-	S₆=59	-	-	-	-	-	S₁₀=179		-		(S₁₂=263)
premiers dont G_i et S_i	2 G₁	17			47 S₅			79			107 S₈		(173) (G₁₃)
S	S₁=5	-			-						-		(S₁₃=347)
premiers dont G_i et S_i	3 G₂	19									109		(179) (S₁₀* et G₁₄)*
S	S₂=7	-									-		(S₁₄=359)
premiers dont G_i et S_i	5 G₃ et S₁												(191) (G₁₅)
S	S₃=11												(S₁₅=383)
premiers dont G_i et S_i	7 S₂												(233) (G₁₆)
S	-												(S₁₆=467)
premiers dont G_i et S_i
S
sous-totaux des p, G_i, S_i, par décade	4 p 3 G 2 S	4 p 1 G 1 S	2 p 2 G 1 S	2 p 0 G 0 S	3 p 1 G 1 S	2 p 1 G 1 S	2 p 0 G 0 S	3 p 0 G 0 S	2 p 2 G 1 S	1 p 0 G 0 S	4 p 0 G 1 S	1 p 1 G 0 S	1 p 0 G 0 S
Totaux et ratios A	- A1 - 25 soit 25 % de nombres premiers « p » parmi les 100 entiers « n » compris entre 0 et 99, à comparer à : 10 soit 10 % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 100 entiers « n » compris entre 0 et 99. 7 soit 7 % de nombres premiers sûrs « S » parmi les 100 entiers « n » compris entre 0 et 99. - A2 - 46 soit 23 % de nombres premiers « p » parmi les 200 entiers « n » compris entre 0 et 199, à comparer à : 15 soit 7,5 % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 200 entiers « n » compris entre 0 et 199. 10 soit 5 % de nombres premiers sûrs « S » dilués parmi les 200 entiers « n » compris entre 0 et 199.
Totaux et ratios B	- B1 - 31 soit 24 % de nombres premiers « p » parmi les 128 entiers « n » compris entre 0 et 127, à comparer à : 11 soit 8,6 % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 128 entiers « n » compris entre 0 et 127. 8 soit 6,25 % de nombres premiers sûrs « S » parmi les 128 entiers « n » compris entre 0 et 127. - B2 - 54 soit 21 % de nombres premiers « p » parmi les 256 entiers « n » compris entre 0 et 255, à comparer à : 18 soit 7 % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 256 entiers « n » compris entre 0 et 255[3]. 11 soit 4,3 % de nombres premiers sûrs « S » dilués parmi les 256 entiers « n » compris entre 0 et 255.

Le nombre 0 n'est pas premier. Par conséquent 1 = 2 × 0 + 1 n'est pas un nombre premier sûr.
Le nombre 1 n'est pas premier. Par conséquent 3 = 2 × 1 + 1 n'est pas un nombre premier sûr.
Les deux nombres premiers de Sophie Germain complémentaires, inférieurs à 256, qui n'apparaissent pas dans le tableau sont : G₁₇ = 239 et G₁₈ = 251.

Nombres premiers sûrs compris entre 0 et 1023

À partir de 1031, les nombres premiers ordinaires p intermédiaires ne sont plus indiqués.

centaines d'entiers n		premier cent			deuxième cent			troisième cent		quatrième cent		cinquième cent		sixième cent		septième cent		huitième cent		neuvième cent		dixième cent		+ 23 → 1023
Typ	Qté	00	10	20	00	10	20	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00	10	00
p G_i S_i	01	2 G₁	31	73	101	151	199	211	269	307	367	401	461	503 S₁₈	577	601	659 G₃₀	701	769	809 G₃₅	863 S₂₃	907	977	1009
S		S₁=5	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	S₃₀=1319	-	-	S₃₅=1619	-	-	-	-
p G_i S_i	02	3 G₂	37	79	103	157		223	271	311	373	409	463	509 G₂₆	587 S₂₀	607	661	709	773	811	877	911 G₃₆	983 S₂₅	1013 G₃₈
S		S₂=7	-	-	-	-		-	-	-	-	-	-	S₂₆=1019	-	-	-	-	-	-	-	S₃₆=1823	-	S₃₈=2027
p G_i S_i	03	5 G₃ S₁	41 G₇	83 G₉ S₇	107 S₈	163		227 S₁₁	277	313	379	419 G₂₂	467 S₁₆	521	593 G₂₇	613	673	719 G₃₂ S₂₁	787	821	881	919	991	1019 G₃₉ S₂₆
S		S₃=11	S₇=83	S₉=167	-	-		-	-	-	-	S₂₂=839	-	-	S₂₇=1187	-	-	S₃₂=1439	-	-	-	-	-	S₃₉=2039
p G_i S_i	04	7 S₂	43	89 G₁₀	109	167 S₉		229	281 G₁₉	317	383 S₁₅	421	479 S₁₇	523	599	617	677	727	797	823	883	929	997	1021
S		-	-	S₁₀=179	-	-		-	S₁₉=563	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
p G_i S_i	05	11 G₄ S₃	47 S₅	97	113 G₁₁	173 G₁₃		233 G₁₆	283	331	389	431 G₂₃	487	541		619	683 G₃₁	733		827	887 S₂₄	937		(1031) (G₄₀)
S		S₄=23	-	-	S₁₁=227	S₁₃=347		S₁₆=467	-	-	-	S₂₃=863	-	-		-	S₃₁=1367	-		-	-	-		*(S₄₀= 2063)*
p G_i S_i	06	13	53 G₈		127	179 G₁₄ S₁₀		239 G₁₇	293 G₂₀	337	397	433	491 G₂₅	547		631	691	739		829		941		(1049) (G₄₁)
S		-	S₈=107		-	S₁₄=359		S₁₇=479	S₂₀=587	-	-	-	S₂₅=983	-		-	-	-		-		-		*(S₄₁= 2099)*
p G_i S_i	07	17	59 S₆		131 G₁₂	181		241		347 S₁₃		439	499	557		641 G₂₈		743 G₃₃		839 S₂₂		947		(1103) (G₄₂)
S		-	-		S₁₂=263	-		-		-		-	-	-		S₂₈=1283		S₃₃=1487		-		-		*(S₄₂= 2207)*
p G_i S_i	08	19	61		137	191 G₁₅		251 G₁₈		349		443 G₂₄		563 S₁₉		643		751		853		953 G₃₇		(1223) (G₄₃)
S		-	-		-	S₁₅=383		S₁₈=503		-		S₂₄=887		-		-		-		-		S₃₇=1907		*(S₄₃= 2447)*
p G_i S_i	09	23 G₅ S₄	67		139	193		257		353		449		569		647		757		857		967		(1229) (G₄₄)
S		S₅=47	-		-	-		-		-		-		-		-		-		-		-		*(S₄₄= 2459)*
p G_i S_i	10	29 G₆	71		149	197		263 S₁₂		359 G₂₁ S₁₄		457		571		653 G₂₉		761 G₃₄		859		971		(1289) (G₄₅)
S		S₆=59	-		-	-		-		S₂₁=759		-		-		S₂₉=1307		S₃₄=1523		-		-		*(S₄₅= 2579)*
ss-totaux et ratios par cent		25 p → 25 % 10 G → 10 % 7 S → 7 %			21 p → 21 % 5 G → 5 % 3 S → 3 %			16 p → 16 % 5 G → 5 % 2 S → 2 %		16 p → 16 % 1 G → 1 % 3 S → 3 %		17 p → 17 % 4 G → 4 % 2 S → 2 %		14 p → 14 % 2 G → 2 % 3 S → 3 %		16 p → 16 % 4 G → 4 % 0 S → 0 %		14 p → 14 % 3 G → 3 % 1 S → 1 %		15 p → 15 % 1 G → 1 % 3 S → 3 %		14 p → 14 % 2 G → 2 % 1 S → 1 %		4 p 2 G 1 S
Totaux et ratios A		- A1 - 168 soit 16,8 % de nombres premiers « p » parmi les 1000 entiers « n » compris entre 0 et 999, à comparer à : 37 soit 3,70 % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 1000 entiers « n » compris entre 0 et 999. 25 soit 2,50 % de nombres premiers sûrs « S » parmi les 1000 entiers « n » compris entre 0 et 999. - A2 - 303 soit 15,2 % de nombres premiers « p » parmi les 2000 entiers « n » compris entre 0 et 1999, à comparer à : ? soit ? % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 2000 entiers « n » compris entre 0 et 1999. 37 soit 1,85 % de nombres premiers sûrs « S » dilués parmi les 2000 entiers « n » compris entre 0 et 1999.
Totaux et ratios B		- B1 - 172 soit 16,8 % de nombres premiers « p » parmi les 1024 entiers « n » compris entre 0 et 1023, à comparer à : 39 soit 3,81 % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 1024 entiers « n » compris entre 0 et 1023. 26 soit 2,54 % de nombres premiers sûrs « S » parmi les 1024 entiers « n » compris entre 0 et 1023. - B2 - 309 soit 15,1 % de nombres premiers « p » parmi les 2048 entiers « n » compris entre 0 et 2047, à comparer à : ? soit ? % de nombres premiers de Sophie Germain « G » parmi les 2048 entiers « n » compris entre 0 et 2047. 39 soit 1,90 % de nombres premiers sûrs « S » dilués parmi les 2048 entiers « n » compris entre 0 et 2047.

Applications

Ces nombres premiers sont appelés « sûrs » à cause de leur application dans les algorithmes de cryptologie tels que l'algorithme de Diffie-Hellman. Cependant, aucun nombre premier inférieur à 10⁵⁰ n'est réellement sécurisé du fait que n'importe quel ordinateur moderne avec un algorithme adapté peut déterminer leur primalité en un temps raisonnable. Mais les petits nombres premiers sûrs sont encore très utiles pour apprendre les principes de ces systèmes.

Autres propriétés

Il n'existe pas de test de primalité spécial pour les nombres premiers sûrs comme ceux qui existent pour les nombres premiers de Fermat et les nombres premiers de Mersenne.

À part 5, il n'y a pas de nombre premier de Fermat qui soit aussi un nombre premier sûr. En effet, si F est un nombre premier de Fermat, alors (F – 1)/2 est une puissance de 2. Pour être premier, ce nombre doit être égal à 2. Donc F = 5.

À part 7, il n'y a pas de nombre premier de Mersenne qui soit aussi un nombre premier sûr. La démonstration est un peu plus compliquée, mais encore dans le domaine de l'algèbre de base. Il faut savoir que p doit être premier pour que 2^p – 1 puisse l'être aussi. Pour que 2^p – 1 soit un nombre premier sûr, il faut que les deux nombres 2^p – 1 et ((2^p – 1) – 1)/2 = 2^{p – 1} – 1 soient des nombres de Mersenne. Donc p et p – 1 doivent être premiers tous les deux. Donc p = 3 et 2^p – 1 = 7.

De même que chaque terme, excepté le dernier, d'une chaîne de Cunningham de première espèce est un nombre premier de Sophie Germain, chaque terme excepté le premier d'une telle chaîne est un nombre premier sûr. Les nombres premiers sûrs finissant par 7, de la forme 10n + 7, sont les derniers termes dans de telles chaînes quand ils arrivent, puisque 2(10n + 7) + 1 = 20n + 15.

Référence

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Safe prime » (voir la liste des auteurs).

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