Niveau d'un corps

Soient s l'entier s(F), k l'entier tel que 2^k ≤ s < 2^k+1 et n l'entier 2^k. Il existe des éléments non nuls e₁, … , e_s de F tels que

${\displaystyle 0=\underbrace {1+e_{1}^{2}+\ldots +e_{n-1}^{2}} _{=:a}+\underbrace {e_{n}^{2}+\ldots +e_{s}^{2}} _{=:b}.}$

Les éléments a et b sont tous deux des sommes de n carrés donc — d'après la théorie des formes de Pfister (en) — leur produit ab aussi, c'est-à-dire qu'il existe des éléments c₁, … , c_n de F tels que

${\displaystyle ab=c_{1}^{2}+\ldots +c_{n}^{2}.}$

Comme a est non nul par définition de k, on en déduit

${\displaystyle -1={\frac {ab}{a^{2}}}=\left({\frac {c_{1}}{a}}\right)^{2}+\ldots +\left({\frac {c_{n}}{a}}\right)^{2},}$

si bien que s(F) = n = 2^k.

Si p = 2 alors –1 = 1 = 1² donc s(F) = 1.

Si p > 2, le sous-corps premier de F est le corps fini F_p. L'ensemble S des carrés d'éléments de F_p est de cardinal (p + 1)/2 donc l'ensemble –1 – S aussi, si bien que leur intersection est un singleton donc est non vide : il existe deux éléments x et y de F_p tels que x² = –1 – y² donc –1 = x² + y².