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NÅ“ud bordant

Un nœud bordant est un type de nœud mathématique.

Exemples
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NÅ“ud de ruban

Définitions

En théorie des nœuds, un nœud est un cercle inclus dans la 3-sphère :

Cette 3-sphère peut être considérée comme le contour de la boule de rayon 1 et de dimension 4 :

Un nÅ“ud est dit bordant s'il délimite un disque D, de dimension 2, « bien intégré Â» dans la 4-boule [1]. Ce que l'on entend par « bien intégré Â» dépend du contexte : il existe différents termes pour différents types de nÅ“uds bordants. Si le disque D est plongé dans la 4-boule via une fonction lisse, alors K est à bord régulier. Si D n'est plongé que de façon localement plate dans la 4-boule, (ce qui est une hypothèse plus faible), alors K est un nÅ“ud topologiquement bordant.

Exemples

La liste suivante est la liste de tous les nœuds bordants comprenant 10 intersections ou moins; cette liste a été créée en utilisant The Knot Atlas :

, , , , , , , , , , , , , , , , , , , et .

Propriétés

Chaque nœud de ruban (en) est à bord régulier. Ralph Fox se demandait si chaque nœud à bord régulier était un nœud de ruban[2].

La signature (en) d'un nœud bordant est nulle[3]. Le polynôme d'Alexander d'un nœud bordant est le produit :

où est un polynôme à coefficients entiers[3]. C'est ce qu'on nomme la condition Fox–Milnor[4].

Références

  1. Lickorish et Lickorish 1990, lire en ligne, p. 86.
  2. Robert E. Gompf, Martin Scharlemann et Abigail Thompson, « Fibered knots and potential counterexamples to the property 2R and slice-ribbon conjectures" », Geometry & Topology, vol. 14, no 4,‎ , p. 2305–2347 (DOI 10.2140/gt.2010.14.2305, MR 2740649, arXiv 1103.1601).
  3. Lickorish et Lickorish 1990, lire en ligne, p. 90.
  4. Lickorish et Lickorish 1990, lire en ligne, p. 61.

Bibliographie

  • W.B.Raymond Lickorish, An Introduction to Knot Theory, Springer Science & Business Media, coll. « Graduate Texts in Mathematics » (no 175), , x+204 (ISBN 9780387982540).

Voir également

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